放物線 $y=2x^2 - 4x - 1$ について、次の問いに答えます。 (1) この放物線の頂点Aの座標を求めます。 (2) この放物線を $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に-1だけ平行移動したとき、移動後の放物線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y=2x^2 - 4x - 1$ について、次の問いに答えます。

(1) この放物線の頂点Aの座標を求めます。

(2) この放物線を $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に-1だけ平行移動したとき、移動後の放物線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求めるには、まず与えられた放物線の方程式を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4x - 1$

$y = 2(x^2 - 2x) - 1$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) - 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 - 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 3$

したがって、頂点Aの座標は(1, -3)です。

(2) $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に-1だけ平行移動するということは、$x$ を $x - 2$ に、$y$ を $y + 1$ に置き換えることを意味します。

元の放物線の方程式は $y = 2x^2 - 4x - 1$ なので、移動後の放物線の方程式は次のようになります。

$y + 1 = 2(x - 2)^2 - 4(x - 2) - 1$

$y + 1 = 2(x^2 - 4x + 4) - 4x + 8 - 1$

$y + 1 = 2x^2 - 8x + 8 - 4x + 8 - 1$

$y + 1 = 2x^2 - 12x + 15$

$y = 2x^2 - 12x + 14$

3. 最終的な答え

(1) 頂点Aの座標: (1, -3)

(2) 移動後の放物線の方程式: $y = 2x^2 - 12x + 14$