(1) $5-(-6)^2 \div 4$ を計算する。 (2) $(2x-1)(2x+3) - 4x$ を計算する。 (3) $7\sqrt{3} - \sqrt{27} + \sqrt{33} \div \sqrt{11}$ を計算する。 (4) $x^2 - 14x + 48$ を因数分解する。 (5) 連立方程式 $\begin{cases} 2x+5y=-3 \\ 4x+y=21 \end{cases}$ を解く。 (6) 連立方程式 $\begin{cases} 3(x+1)-2(y-1)=2 \\ 2x+y=-7 \end{cases}$ を解く。 (7) 大小2つのサイコロを同時に投げるとき、大きいサイコロの出た目の数が小さいサイコロの出た目の数より大きくなる場合の数を求める。 (8) 大小2つのサイコロを同時に投げるとき、大きいサイコロの出た目の数の4倍が、小さいサイコロの出た目の数の2乗より大きくなる確率を求める。 (9) ボールペン8本とノート2冊を定価で買ったところ、代金の合計は1000円だった。翌日、ボールペンが1割引、ノートが2割引で売られており、ボールペン2本とノート4冊で610円を支払った。ノート1冊の定価を求める。

1. 問題の内容

(1) $5-(-6)^2 \div 4$ を計算する。

(2) $(2x-1)(2x+3) - 4x$ を計算する。

(3) $7\sqrt{3} - \sqrt{27} + \sqrt{33} \div \sqrt{11}$ を計算する。

(4) $x^2 - 14x + 48$ を因数分解する。

(5) 連立方程式 $\begin{cases} 2x+5y=-3 \\ 4x+y=21 \end{cases}$ を解く。

(6) 連立方程式 $\begin{cases} 3(x+1)-2(y-1)=2 \\ 2x+y=-7 \end{cases}$ を解く。

(7) 大小2つのサイコロを同時に投げるとき、大きいサイコロの出た目の数が小さいサイコロの出た目の数より大きくなる場合の数を求める。

(8) 大小2つのサイコロを同時に投げるとき、大きいサイコロの出た目の数の4倍が、小さいサイコロの出た目の数の2乗より大きくなる確率を求める。

(9) ボールペン8本とノート2冊を定価で買ったところ、代金の合計は1000円だった。翌日、ボールペンが1割引、ノートが2割引で売られており、ボールペン2本とノート4冊で610円を支払った。ノート1冊の定価を求める。

2. 解き方の手順

(1) 指数、掛け算・割り算、足し算・引き算の順に計算する。

$5 - (-6)^2 \div 4 = 5 - 36 \div 4 = 5 - 9 = -4$

(2) 展開してから整理する。

$(2x-1)(2x+3) - 4x = 4x^2 + 6x - 2x - 3 - 4x = 4x^2 - 3$

(3) $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$、$\sqrt{33} \div \sqrt{11} = \sqrt{33/11} = \sqrt{3}$ より、

$7\sqrt{3} - \sqrt{27} + \sqrt{33} \div \sqrt{11} = 7\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

(4) 因数分解する。

$x^2 - 14x + 48 = (x-6)(x-8)$

(5) 連立方程式を解く。

$\begin{cases} 2x+5y=-3 \\ 4x+y=21 \end{cases}$

2式目より $y = 21 - 4x$

1式目に代入して

$2x + 5(21 - 4x) = -3$

$2x + 105 - 20x = -3$

$-18x = -108$

$x = 6$

$y = 21 - 4(6) = 21 - 24 = -3$

よって、$x=6, y=-3$

(6) 連立方程式を解く。

$\begin{cases} 3(x+1)-2(y-1)=2 \\ 2x+y=-7 \end{cases}$

1式目を整理すると

$3x+3-2y+2=2$

$3x-2y = -3$

2式目より $y = -7 - 2x$

1式目に代入して

$3x - 2(-7 - 2x) = -3$

$3x + 14 + 4x = -3$

$7x = -17$

$x = -\frac{17}{7}$

$y = -7 - 2(-\frac{17}{7}) = -7 + \frac{34}{7} = \frac{-49+34}{7} = -\frac{15}{7}$

よって、$x=-\frac{17}{7}, y=-\frac{15}{7}$

(7) 大小のサイコロの目を(大,小)とすると、

(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)

の15通り

(8) 大小のサイコロの目を(大,小)とすると、大きいサイコロの目を$a$、小さいサイコロの目を$b$とすると、$4a > b^2$を満たす確率を求める。

$a=1$のとき、$4 > b^2$を満たす$b$は$b=1$の1通り

$a=2$のとき、$8 > b^2$を満たす$b$は$b=1,2$の2通り

$a=3$のとき、$12 > b^2$を満たす$b$は$b=1,2,3$の3通り

$a=4$のとき、$16 > b^2$を満たす$b$は$b=1,2,3$の3通り

$a=5$のとき、$20 > b^2$を満たす$b$は$b=1,2,3,4$の4通り

$a=6$のとき、$24 > b^2$を満たす$b$は$b=1,2,3,4$の4通り

合計$1+2+3+3+4+4 = 17$通り

確率は$\frac{17}{36}$

(9) ボールペンの定価を$x$円、ノートの定価を$y$円とする。

$\begin{cases} 8x + 2y = 1000 \\ 2(0.9x) + 4(0.8y) = 610 \end{cases}$

$\begin{cases} 8x + 2y = 1000 \\ 1.8x + 3.2y = 610 \end{cases}$

$\begin{cases} 4x + y = 500 \\ 18x + 32y = 6100 \end{cases}$

$\begin{cases} y = 500 - 4x \\ 18x + 32(500 - 4x) = 6100 \end{cases}$

$18x + 16000 - 128x = 6100$

$-110x = -9900$

$x = 90$

$y = 500 - 4(90) = 500 - 360 = 140$

よって、ノート1冊の定価は140円

3. 最終的な答え

[1] -4

[2] $4x^2 - 3$

[3] $5\sqrt{3}$

[4] $(x-6)(x-8)$

[5] $x=6, y=-3$

[6] $x=-\frac{17}{7}, y=-\frac{15}{7}$

[7] 15通り

[8] $\frac{17}{36}$

[9] 140円