等比数列において、$a_3 = 20$、$a_7 = \frac{5}{4}$ が与えられています。ただし、公比 $r > 0$ です。この数列の一般項を求めます。

1. 問題の内容

等比数列において、$a_3 = 20$、$a_7 = \frac{5}{4}$ が与えられています。ただし、公比 $r > 0$ です。この数列の一般項を求めます。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ と表されます。

$a_3 = a_1 r^{3-1} = a_1 r^2 = 20$

$a_7 = a_1 r^{7-1} = a_1 r^6 = \frac{5}{4}$

これらの式から、$a_1$ と $r$ を求めます。

$a_1 r^6 = \frac{5}{4}$ を $a_1 r^2 = 20$ で割ると、

$\frac{a_1 r^6}{a_1 r^2} = \frac{\frac{5}{4}}{20}$

$r^4 = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{20} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}$

$r > 0$ なので、$r = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}$

$a_1 r^2 = 20$ に $r = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$a_1 (\frac{1}{2})^2 = 20$

$a_1 \cdot \frac{1}{4} = 20$

$a_1 = 80$

したがって、一般項は $a_n = a_1 r^{n-1} = 80 (\frac{1}{2})^{n-1} = 80 \cdot 2^{1-n} = 2^3 \cdot 10 \cdot 2^{1-n} = 10 \cdot 2^{4-n}$

3. 最終的な答え

$a_n = 10 \cdot 2^{4-n}$