問題文は数列、無限級数、漸化式、および方程式に関する複数の小問から構成されています。問6では、等比数列の第3項の値、初項から第8項までの和、数列の一般項、無限級数の和、漸化式で定義された数列の一般項を求める必要があります。問7では、与えられた方程式の解を求めるために、変数変換と因数分解を行い、解の範囲を考慮して最終的な解を決定する必要があります。

1. 問題の内容

問題文は数列、無限級数、漸化式、および方程式に関する複数の小問から構成されています。問6では、等比数列の第3項の値、初項から第8項までの和、数列の一般項、無限級数の和、漸化式で定義された数列の一般項を求める必要があります。問7では、与えられた方程式の解を求めるために、変数変換と因数分解を行い、解の範囲を考慮して最終的な解を決定する必要があります。

2. 解き方の手順

問6 (1):

* 公比2の等比数列なので、初項を $a$ とすると、第3項は $a \cdot 2^{3-1} = a \cdot 2^2 = 4a$ となります。問題文には初項が明示されていないため、仮に初項を1とすると、第3項は $4 \cdot 1 = 4$。したがって、(ア) = 4 です。

* 初項から第8項までの和は、等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ を使用します。初項が1の場合、$S_8 = \frac{1(2^8 - 1)}{2 - 1} = 256 - 1 = 255$。したがって、(イ)(ウ)(エ) = 255 です。

問6 (2):

* 与えられた数列は $0, 1, 3, 6, 10, 15, \dots$ です。この数列の階差数列を求めると、$1, 2, 3, 4, 5, \dots$ となり、これは等差数列です。したがって、次の項は $15 + 6 = 21$ となります。さらに次の項は $21 + 7 = 28$ となります。したがって、(オ) = 21, (カ) = 28です。しかし問題文は一つの数値しか求めていないため、最初の空白を埋める21が適切です。

問6 (3):

* 初項1、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列の無限和は、$S = \frac{a}{1 - r}$ で計算できます。この場合、$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$ となります。したがって、(キ) = 2です。

問6 (4):

* 漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 2$ を解きます。まず、特性方程式 $x = 2x + 2$ を解くと、$x = -2$ となります。したがって、$a_{n+1} + 2 = 2(a_n + 2)$ と変形できます。$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ となり、$b_1 = a_1 + 2 = 0 + 2 = 2$ です。したがって、$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$ となり、$a_n = b_n - 2 = 2^n - 2$ となります。したがって、(ク) = 2, (ケ) = 2です。

問7:

* 方程式 $4^x - 4^{\log_2 \sqrt{3}} \cdot 2^x - 4 = 0$ を解きます。$2^x = X$ とおくと、$4^x = (2^x)^2 = X^2$ となります。また、$4^{\log_2 \sqrt{3}} = (2^2)^{\log_2 \sqrt{3}} = 2^{2\log_2 \sqrt{3}} = 2^{\log_2 (\sqrt{3})^2} = 2^{\log_2 3} = 3$ となります。したがって、方程式は $X^2 - 3X - 4 = 0$ となります。(ア) = 3 です。

* $X^2 - 3X - 4 = (X - 4)(X + 1) = 0$ と因数分解できます。したがって、$X = 4$ または $X = -1$ となります。(イ) = 4, (ウ) = 1 です。

* $X = 2^x$ であり、$x$ が実数であるためには、$X > 0$ でなければなりません。したがって、$X = 4$ のみが解の候補となります。$2^x = 4$ より、$x = 2$ となります。(エ) = 0, (オ) = 2 です。

3. 最終的な答え

問6:

(ア) 4

(イ)(ウ)(エ) 255

(オ) 21

(キ) 2

(ク) 2

(ケ) 2

問7:

(ア) 3

(イ) 4

(ウ) 1

(エ) 0

(オ) 2