問題は数列に関する4つの小問から構成されています。 (1) 初項2、公比2の等比数列の第3項の値と、初項から第8項までの和を求めます。 (2) 数列0, 1, 3, 6, 10, 15, ...の次の項を求めます。 (3) 初項1、公比$\frac{1}{3}$の等比数列の無限和を求めます。 (4) 漸化式$a_1 = 0, a_{n+1} = 2a_n + 2 (n = 1, 2, ...)$の一般項を求めます。

1. 問題の内容

問題は数列に関する4つの小問から構成されています。

(1) 初項2、公比2の等比数列の第3項の値と、初項から第8項までの和を求めます。

(2) 数列0, 1, 3, 6, 10, 15, ...の次の項を求めます。

(3) 初項1、公比$\frac{1}{3}$の等比数列の無限和を求めます。

(4) 漸化式$a_1 = 0, a_{n+1} = 2a_n + 2 (n = 1, 2, ...)$の一般項を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の第n項は$a_n = a_1 r^{n-1}$で表されます。第3項は$a_3 = a_1 r^2$で計算できます。

等比数列の初項から第n項までの和は$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$で表されます。初項から第8項までの和は$S_8 = \frac{a_1(1-r^8)}{1-r}$で計算できます。

(2) 数列の差を考えると、1, 2, 3, 4, 5, ...となるので、次の差は6です。したがって、次の項は15 + 6 = 21となります。

(3) 無限等比級数の和は、$S = \frac{a}{1-r}$で表されます。$a=1$, $r=\frac{1}{3}$を代入します。

(4) 漸化式$a_{n+1} = 2a_n + 2$を変形します。$a_{n+1} + 2 = 2(a_n + 2)$となり、$b_n = a_n + 2$とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$となります。

$b_1 = a_1 + 2 = 0 + 2 = 2$なので、$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$です。

よって、$a_n = b_n - 2 = 2^n - 2$となります。

3. 最終的な答え

(1) (ア) 8、(イ)(ウ)(エ) 510

(2) (オ)(カ) 21

(3) (キ) $\frac{3}{2}$

(4) (ク) 2、(ケ) 2