整数全体を全体集合 $U$ とし、$U$ の部分集合 $A = \{1, a, a+1\}$ と $B = \{6, 8-a, a-3\}$ が与えられています。$A \cap B = \{1, 4\}$ となるように定数 $a$ の値を定め、そのときの $A \cup B$ を求める問題です。

1. 問題の内容

整数全体を全体集合 $U$ とし、$U$ の部分集合 $A = \{1, a, a+1\}$ と $B = \{6, 8-a, a-3\}$ が与えられています。$A \cap B = \{1, 4\}$ となるように定数 $a$ の値を定め、そのときの $A \cup B$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A \cap B = \{1, 4\}$ であることから、$A$ と $B$ の両方に $1$ と $4$ が含まれている必要があります。

集合 $A$ は $1$ を含んでいるので、集合 $B$ が $4$ を含む必要があります。

したがって、$B$ の要素のいずれかが $4$ に等しくなければなりません。

つまり、$6 = 4$ または $8 - a = 4$ または $a - 3 = 4$ が成り立ちます。

$6 = 4$ は明らかに成り立たないので、$8 - a = 4$ または $a - 3 = 4$ を考えます。

* $8 - a = 4$ のとき、$a = 4$ となります。このとき、$A = \{1, 4, 5\}$、$B = \{6, 4, 1\}$ となり、$A \cap B = \{1, 4\}$ を満たします。

* $a - 3 = 4$ のとき、$a = 7$ となります。このとき、$A = \{1, 7, 8\}$、$B = \{6, 1, 4\}$ となり、$A \cap B = \{1, 4\}$ を満たしません。なぜなら、$A$ は$4$を含んでいないため、$A \cap B$ は $\{1\}$ になるからです。

したがって、$a = 4$ のみが条件を満たすことがわかります。

$a = 4$ のとき、$A = \{1, 4, 5\}$、$B = \{6, 4, 1\}$ なので、$A \cup B = \{1, 4, 5, 6\}$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 4$

$A \cup B = \{1, 4, 5, 6\}$