2次関数 $y = -2x^2 + 4x$ の、定義域 $-2 \le x \le 3$ における最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 4x$ の、定義域 $-2 \le x \le 3$ における最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成する。

$y = -2x^2 + 4x$

$y = -2(x^2 - 2x)$

$y = -2(x^2 - 2x + 1 - 1)$

$y = -2((x - 1)^2 - 1)$

$y = -2(x - 1)^2 + 2$

この2次関数は、上に凸な放物線であり、頂点の座標は $(1, 2)$ である。

次に、定義域 $-2 \le x \le 3$ におけるグラフを考える。

頂点の $x$ 座標は $x = 1$ であり、定義域に含まれる。

定義域の端点 $x = -2$ および $x = 3$ における $y$ の値を計算する。

$x = -2$ のとき、

$y = -2(-2)^2 + 4(-2) = -2(4) - 8 = -8 - 8 = -16$

$x = 3$ のとき、

$y = -2(3)^2 + 4(3) = -2(9) + 12 = -18 + 12 = -6$

$x = 1$ のとき、$y = 2$ (頂点のy座標)

したがって、定義域 $-2 \le x \le 3$ における最小値は、 $x = -2$ のときの $y = -16$ である。

3. 最終的な答え

-16