2次関数 $y = 3x^2 - 4x + 5$ の最小値を求める問題です。

代数学二次関数平方完成最小値頂点
2025/7/30

1. 問題の内容

2次関数 y=3x24x+5y = 3x^2 - 4x + 5 の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数の最小値を求めるには、平方完成を行うのが一般的な方法です。
まず、y=3x24x+5y = 3x^2 - 4x + 5xx について平方完成します。
x2x^2 の係数である3で 3x24x3x^2 - 4x の部分をくくります。
y=3(x243x)+5y = 3(x^2 - \frac{4}{3}x) + 5
次に、括弧の中を平方完成します。x243xx^2 - \frac{4}{3}x を平方完成するには、xx の係数の半分である 23-\frac{2}{3} の2乗を足して引きます。
y=3(x243x+(23)2(23)2)+5y = 3(x^2 - \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2) + 5
y=3((x23)249)+5y = 3((x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) + 5
次に、括弧を展開します。
y=3(x23)2349+5y = 3(x - \frac{2}{3})^2 - 3 \cdot \frac{4}{9} + 5
y=3(x23)243+5y = 3(x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3} + 5
最後に、定数項を計算します。
y=3(x23)243+153y = 3(x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3} + \frac{15}{3}
y=3(x23)2+113y = 3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{11}{3}
これで平方完成が完了しました。この式から、頂点の座標は (23,113)(\frac{2}{3}, \frac{11}{3}) であることがわかります。また、x2x^2 の係数が正であることから、この2次関数は下に凸のグラフになるため、頂点が最小値となります。

3. 最終的な答え

したがって、2次関数 y=3x24x+5y = 3x^2 - 4x + 5 の最小値は 113\frac{11}{3} です。

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