与えられた数式 $\frac{1}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2}$ を計算して、その値を求める。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\frac{1}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2}$ を計算して、その値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$ を展開します。

$(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}$

したがって、与えられた式は $\frac{1}{7 - 2\sqrt{10}}$ となります。

次に、分母の有理化を行います。分母の共役である $7 + 2\sqrt{10}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{7 - 2\sqrt{10}} = \frac{1}{7 - 2\sqrt{10}} \cdot \frac{7 + 2\sqrt{10}}{7 + 2\sqrt{10}} = \frac{7 + 2\sqrt{10}}{(7 - 2\sqrt{10})(7 + 2\sqrt{10})}$

分母を展開すると $(7 - 2\sqrt{10})(7 + 2\sqrt{10}) = 7^2 - (2\sqrt{10})^2 = 49 - 4 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$

したがって、$\frac{7 + 2\sqrt{10}}{9}$ が得られます。

3. 最終的な答え

$\frac{7 + 2\sqrt{10}}{9}$