2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 5$ の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 5$ の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数を平方完成して、頂点の座標を求めます。

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ (ただし、$a \ne 0$) が与えられたとき、平方完成を行うことで、

$y = a(x - p)^2 + q$ の形に変形できます。このとき、頂点の座標は $(p, q)$ となります。

$a < 0$ のとき、この2次関数は $x = p$ で最大値 $q$ をとります。

まず、$y = -2x^2 - 4x + 5$ を $x^2$ の係数でくくります。

$y = -2(x^2 + 2x) + 5$

次に、$x^2 + 2x$ を $(x + a)^2 - a^2$ の形に変形します。この場合、$a = 1$ なので、

$x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1$

したがって、

$y = -2((x + 1)^2 - 1) + 5$

$y = -2(x + 1)^2 + 2 + 5$

$y = -2(x + 1)^2 + 7$

よって、与えられた2次関数の頂点の座標は $(-1, 7)$ であることが分かります。

$x^2$ の係数が負であるため、この関数は上に凸のグラフになり、頂点で最大値を持ちます。

3. 最終的な答え

最大値は $7$ です。