2桁の整数があり、その十の位と一の位の数を入れ替えてできる数は、元の数より18小さい。また、元の数と入れ替えてできる数の和は110になるという。元の整数を求めよ。

1. 問題の内容

2桁の整数があり、その十の位と一の位の数を入れ替えてできる数は、元の数より18小さい。また、元の数と入れ替えてできる数の和は110になるという。元の整数を求めよ。

2. 解き方の手順

元の整数の十の位を $x$、一の位を $y$ とします。

元の整数は $10x + y$ と表され、十の位と一の位を入れ替えた整数は $10y + x$ と表されます。

問題文より、以下の2つの式が立てられます。

(1) $10y + x = 10x + y - 18$

(2) $10x + y + 10y + x = 110$

式(1)を整理します。

$10y + x - 10x - y = -18$

$-9x + 9y = -18$

$x - y = 2$ ... (3)

式(2)を整理します。

$11x + 11y = 110$

$x + y = 10$ ... (4)

式(3)と式(4)の連立方程式を解きます。

式(3)と式(4)を足し合わせます。

$(x - y) + (x + y) = 2 + 10$

$2x = 12$

$x = 6$

$x = 6$ を式(4)に代入します。

$6 + y = 10$

$y = 4$

したがって、元の整数は $10x + y = 10(6) + 4 = 64$ です。

3. 最終的な答え

64