画像に写っている数学の問題は以下の通りです。 (1) 実数 $c$ を定数とし、不等式 $\qquad \frac{|x^2 - 4x - 2|}{x^2 - 4x - 8} < c$ を考える。 (2) $a, b$ を実数とする。 $a + b = 2, \quad a^2 + b^2 = 4$ であるとき、 $ab = -2, \quad a^3 + b^3 = 8$ である。 $\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) x + 3x - a^2 - b^2 < 0$ を満たす正の整数 $x$ の個数はいくつか。

はい、了解しました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題は以下の通りです。

(1) 実数 $c$ を定数とし、不等式

$\qquad \frac{|x^2 - 4x - 2|}{x^2 - 4x - 8} < c$

を考える。

(2) $a, b$ を実数とする。

$a + b = 2, \quad a^2 + b^2 = 4$

であるとき、

$ab = -2, \quad a^3 + b^3 = 8$

である。

$\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) x + 3x - a^2 - b^2 < 0$

を満たす正の整数 $x$ の個数はいくつか。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $\frac{|x^2 - 4x - 2|}{x^2 - 4x - 8} < c$ について。

$t = x^2 - 4x$ と置くと、この式は$\frac{|t-2|}{t-8} < c$となる。

$c=1$の場合を考える。

$\frac{|t-2|}{t-8} < 1$となる。

i) $t > 8$のとき、$|t-2| < t - 8$となり、$t - 2 < t - 8$または$-t+2 < t - 8$となる。

$t - 2 < t - 8$は$2 < 8$なので常に満たす。$-t + 2 < t - 8$は$2t > 10$なので$t > 5$となる。

$t > 8$と$t > 5$を満たすので、$t > 8$となる。

ii) $t < 8$のとき、$|t-2| < -t + 8$となる。

$t < 2$のとき、$2 - t < -t + 8$となり、$2 < 8$なので常に満たす。

$2 < t < 8$のとき、$t - 2 < -t + 8$となり、$2t < 10$なので、$t < 5$となる。

$2 < t < 5$となる。

よって、$t < 5$となる。

$x^2 - 4x < 5$より、$x^2 - 4x - 5 < 0$となる。

$(x - 5)(x + 1) < 0$より、$-1 < x < 5$となる。

$x^2 - 4x > 8$より、$x^2 - 4x - 8 > 0$となる。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$

$x < 2 - 2\sqrt{3}, x > 2 + 2\sqrt{3}$となる。

$2 - 2\sqrt{3} \approx 2 - 2(1.73) = 2 - 3.46 = -1.46$

$2 + 2\sqrt{3} \approx 2 + 3.46 = 5.46$

$-1 < x < 5$より$-1 < x < 2 - 2\sqrt{3}, 2 + 2\sqrt{3} < x < 5$となり、

$-1 < x < -1.46$は不適。

$5.46 < x < 5$は不適。

(2) $a + b = 2, a^2 + b^2 = 4$より、$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$となる。

$4 = 4 + 2ab$より、$ab = 0$となる。

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = (2)(4 - 0) = 8$

$\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) x + 3x - a^2 - b^2 < 0$より、

$\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) x + 3x - 4 < 0$となる。

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{4}{0}$ (定義できない)

$a = 2, b = 0$または$a=0, b=2$

$a = 2, b = 0$の場合、$\left( \frac{2}{0} + \frac{0}{2} \right) x + 3x - 4 < 0$

$a = 0, b = 2$の場合、$\left( \frac{0}{2} + \frac{2}{0} \right) x + 3x - 4 < 0$

問題文がおかしいので、正の整数xの個数は不明。

3. 最終的な答え

(1) 不等式を解くことができません。$c$ の値が不明であり、また、$x^2 - 4x = t$と置換した後の変域の考察が難しいです。

(2) $ab=0$です。$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$が定義できないため、不等式を解くことができません。問題文に不備がある可能性があります。