問題6は、実数 $p$ を定数とする関数 $f(x) = x^2 - px + p$ の最小値を $m$ とするとき、$m$ を $p$ で表し、$m$ を最大にする $p$ の値と、そのときの $m$ の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題6は、実数 $p$ を定数とする関数 $f(x) = x^2 - px + p$ の最小値を $m$ とするとき、$m$ を $p$ で表し、$m$ を最大にする $p$ の値と、そのときの $m$ の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - px + p = (x - \frac{p}{2})^2 - \frac{p^2}{4} + p$

よって、最小値 $m$ は $m = -\frac{p^2}{4} + p$ となります。

$m$ を最大にする $p$ の値を求めるために、$m$ を平方完成します。

$m = -\frac{1}{4}(p^2 - 4p) = -\frac{1}{4}((p - 2)^2 - 4) = -\frac{1}{4}(p - 2)^2 + 1$

したがって、$p = 2$ のとき、$m$ は最大値 $1$ をとります。

3. 最終的な答え

$m = -\frac{p^2}{4} + p$

$p = 2$ のとき、$m$ は最大値 $1$ をとる。