2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが点 $(4, -4)$ を通り、$x = 2$ で最大値 $8$ をとるとき、定数 $a, b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが点 $(4, -4)$ を通り、$x = 2$ で最大値 $8$ をとるとき、定数 $a, b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x = 2$ で最大値 $8$ をとることから、この2次関数は頂点が $(2, 8)$ であることがわかる。

したがって、2次関数は

$y = a(x - 2)^2 + 8$

と表せる。

次に、このグラフが点 $(4, -4)$ を通ることから、

$-4 = a(4 - 2)^2 + 8$

$-4 = 4a + 8$

$4a = -12$

$a = -3$

したがって、$y = -3(x - 2)^2 + 8$ である。

これを展開すると、

$y = -3(x^2 - 4x + 4) + 8$

$y = -3x^2 + 12x - 12 + 8$

$y = -3x^2 + 12x - 4$

したがって、 $a = -3$, $b = 12$, $c = -4$ である。

3. 最終的な答え

$a = -3$, $b = 12$, $c = -4$