$a$ を正の定数とする。$\theta$ の方程式 $\sin(a\theta) + \sqrt{3}\cos(a\theta) = 1$ について、以下の問いに答える。 (1) $\sin(\theta+\frac{\pi}{3})$ を $\sin\theta$, $\cos\theta$ の式で表す。 (2) $a=1$ のとき、(*) を $0 \le \theta < 2\pi$ において解く。 (3) (*) の $\theta \ge 0$ を満たす $\theta$ のうち、小さい方から4つを $a$ を用いて表す。 (4) $N$ を正の整数とする。$0 \le \theta < 2\pi$ において、(*) の解がちょうど $2N$ 個存在するような $a$ の値の範囲を $N$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。$\theta$ の方程式

$\sin(a\theta) + \sqrt{3}\cos(a\theta) = 1$

について、以下の問いに答える。

(1) $\sin(\theta+\frac{\pi}{3})$ を $\sin\theta$, $\cos\theta$ の式で表す。

(2) $a=1$ のとき、(*) を $0 \le \theta < 2\pi$ において解く。

(3) (*) の $\theta \ge 0$ を満たす $\theta$ のうち、小さい方から4つを $a$ を用いて表す。

(4) $N$ を正の整数とする。$0 \le \theta < 2\pi$ において、(*) の解がちょうど $2N$ 個存在するような $a$ の値の範囲を $N$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 三角関数の加法定理より、

$\sin(\theta+\frac{\pi}{3}) = \sin\theta\cos\frac{\pi}{3} + \cos\theta\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$

(2) $a=1$ のとき、与えられた方程式は

$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 1$

両辺を2で割ると、

$\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta = \frac{1}{2}$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{7}{3}\pi$

$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{5}{6}\pi, \frac{13}{6}\pi$

$\theta = \frac{5}{6}\pi - \frac{\pi}{3}, \frac{13}{6}\pi - \frac{\pi}{3}$

$\theta = \frac{3}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$

$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{11}{6}\pi$

(3) $\sin(a\theta) + \sqrt{3}\cos(a\theta) = 1$

$2\sin(a\theta + \frac{\pi}{3}) = 1$

$\sin(a\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$a\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2n\pi, \frac{5}{6}\pi + 2n\pi$ ($n$ は整数)

$a\theta = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2n\pi, \frac{5}{6}\pi - \frac{\pi}{3} + 2n\pi$

$a\theta = -\frac{\pi}{6} + 2n\pi, \frac{3}{6}\pi + 2n\pi$

$a\theta = -\frac{\pi}{6} + 2n\pi, \frac{\pi}{2} + 2n\pi$

$\theta = -\frac{\pi}{6a} + \frac{2n\pi}{a}, \frac{\pi}{2a} + \frac{2n\pi}{a}$

$\theta \ge 0$ より、

$\theta = \frac{11\pi}{6a}, \frac{\pi}{2a}, \frac{23\pi}{6a}, \frac{5\pi}{2a}, \frac{35\pi}{6a}, \frac{9\pi}{2a}, \dots$

小さい方から4つは

$\frac{\pi}{2a}, \frac{11\pi}{6a}, \frac{5\pi}{2a}, \frac{23\pi}{6a}$

(4) $0 \le \theta < 2\pi$ において

$\theta = -\frac{\pi}{6a} + \frac{2n\pi}{a}, \frac{\pi}{2a} + \frac{2n\pi}{a}$

$0 \le -\frac{\pi}{6a} + \frac{2n\pi}{a} < 2\pi$

$0 \le -\frac{1}{6} + 2n < 2a$

$\frac{1}{12} \le n < a + \frac{1}{12}$

$0 \le \frac{\pi}{2a} + \frac{2n\pi}{a} < 2\pi$

$0 \le \frac{1}{2} + 2n < 2a$

$-\frac{1}{4} \le n < a - \frac{1}{4}$

$n$ の個数を考える。

$a+\frac{1}{12}$ と $a-\frac{1}{4}$ の範囲にある整数の個数の和が $2N$ になれば良い。

$a - \frac{1}{4} < a + \frac{1}{12}$ なので、$a - \frac{1}{4}$ の範囲にある整数の個数が $N$ 個、$a + \frac{1}{12}$ の範囲にある整数の個数が $N$ 個となる必要がある。

範囲にある最小の $n$ は、それぞれ $0$ である。

$N-1 < a-\frac{1}{4} \le N$

$N-1 + \frac{1}{4} < a \le N + \frac{1}{4}$

$N - \frac{3}{4} < a \le N + \frac{1}{4}$

$N-1 < a+\frac{1}{12} \le N$

$N-1-\frac{1}{12} < a \le N - \frac{1}{12}$

$N - \frac{13}{12} < a \le N - \frac{1}{12}$

よって、$2N-\frac{3}{4} < a \le 2N+\frac{1}{4}$.　ただしこれは違う。

$\theta = \frac{-\frac{\pi}{6} + 2n\pi}{a}, \frac{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}{a}$ とすると

解の個数は、 $-\frac{\pi}{6} + 2n\pi < 2\pi a$ and $\frac{\pi}{2} + 2n\pi < 2\pi a$ を満たすような非負の整数 $n$ の個数の和になる。

$-\frac{1}{6} + 2n < 2a$ $n < a + \frac{1}{12}$

$\frac{1}{2} + 2n < 2a$ $n < a - \frac{1}{4}$

解の個数が $2N$ なので、 $2N-1 < a + \frac{1}{12} \le 2N$ かつ $2N-1 < a - \frac{1}{4} \le 2N$ であれば良い。

$N - \frac{13}{12} < a \le N - \frac{1}{12}$ かつ $N - \frac{3}{4} < a \le N + \frac{1}{4}$.

3. 最終的な答え

(1) $\sin(\theta+\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$

(2) $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{11}{6}\pi$

(3) $\frac{\pi}{2a}, \frac{11\pi}{6a}, \frac{5\pi}{2a}, \frac{23\pi}{6a}$

(4) $N - \frac{3}{4} < a \le N + \frac{1}{4}$