与えられた連立一次方程式を解く問題です。連立一次方程式は以下のように与えられています。 $\begin{bmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 3 & 9 & -3 \\ 3 & 7 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 6 \\ 7 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解く問題です。連立一次方程式は以下のように与えられています。

$\begin{bmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 3 & 9 & -3 \\ 3 & 7 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 6 \\ 7 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

この連立一次方程式を行列を用いて解きます。拡大係数行列を作成し、行基本変形を用いて階段行列に変形し、解を求めます。

拡大係数行列は次の通りです。

$\begin{bmatrix} 2 & 5 & -1 & 6 \\ 3 & 9 & -3 & 6 \\ 3 & 7 & -2 & 7 \end{bmatrix}$

まず、1行目を1/2倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 2.5 & -0.5 & 3 \\ 3 & 9 & -3 & 6 \\ 3 & 7 & -2 & 7 \end{bmatrix}$

次に、2行目から1行目の3倍を引き、3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2.5 & -0.5 & 3 \\ 0 & 1.5 & -1.5 & -3 \\ 0 & -0.5 & -0.5 & -2 \end{bmatrix}$

次に、2行目を2/3倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 2.5 & -0.5 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & -0.5 & -0.5 & -2 \end{bmatrix}$

次に、3行目に2行目の1/2倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2.5 & -0.5 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{bmatrix}$

次に、3行目を-1倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 2.5 & -0.5 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

これで階段行列が得られました。逆向きに代入して解を求めます。

$x_3 = 3$

$x_2 - x_3 = -2$

$x_2 - 3 = -2$

$x_2 = 1$

$x_1 + 2.5x_2 - 0.5x_3 = 3$

$x_1 + 2.5(1) - 0.5(3) = 3$

$x_1 + 2.5 - 1.5 = 3$

$x_1 + 1 = 3$

$x_1 = 2$

3. 最終的な答え

$x_1 = 2, x_2 = 1, x_3 = 3$

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$