絶対値を含む方程式 $|x^2 - x - 6| = 2x$ について、いくつかの問いに答えます。

## 問4

1. 問題の内容

絶対値を含む方程式 $|x^2 - x - 6| = 2x$ について、いくつかの問いに答えます。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - x - 6$ の符号について:

$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$ と因数分解できます。したがって、$x^2 - x - 6 < 0$ となるのは $-2 < x < 3$ の範囲です。よって、(ア) は -2、(イ) は 3 です。

(2) $-2 < x < 3$ において、 $|x^2 - x - 6| = 2x$ を満たす $x$ を求める:

この範囲では $|x^2 - x - 6| = -x^2 + x + 6$ なので、$-x^2 + x + 6 = 2x$ を解きます。

$-x^2 - x + 6 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x+3)(x-2) = 0$

$x = -3, 2$

$-2 < x < 3$ の範囲にあるのは $x = 2$ です。よって、(ウ) は 2 です。

(3) $x^2 - x - 6 = 2x$ を満たす $x$ を求める:

$x^2 - 3x - 6 = 0$

解の公式を用いて、

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$

よって、$x = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$ となります。したがって、(オ) は 3、(※) は 33、(エ) は 2 です。

$|x^2 - x - 6|$ の値が負ではない $x$ の範囲を考えるとき、方程式 $|x^2 - x - 6| = 2x$ が成立する $x$ の値は、(2) より $x=2$、(3) より $x = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$ です。

$x = \frac{3 - \sqrt{33}}{2} < 0$ であり、絶対値の中身が負になる条件を満たさないので解にならない。

$x = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} > 3$ であり、絶対値の中身が負になる条件を満たさない解である。

したがって、$x=2$と$x = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}$ が解であるため、(カ) は 2 です。

3. 最終的な答え

(ア) -2

(イ) 3

(ウ) 2

(オ) 3

(※) 33

(エ) 2

(カ) 2

## 問5

1. 問題の内容

需要曲線 $P = 18 - 2Q$、供給曲線 $P = Q$ で表される市場について、いくつかの問いに答えます。

2. 解き方の手順

(1) 完全競争市場の場合:

均衡価格 $P^*$ と均衡取引量 $Q^*$ は、需要曲線と供給曲線の交点から求められます。

$18 - 2Q = Q$

$3Q = 18$

$Q^* = 6$

$P^* = Q^* = 6$

よって、(ア) は 6、(イ) は 6 です。

消費者余剰は、需要曲線と均衡価格の間の面積で計算されます。この場合、三角形の面積となり、

$\frac{1}{2} (18 - 6) \times 6 = \frac{1}{2} \times 12 \times 6 = 36$

生産者余剰は、供給曲線と均衡価格の間の面積で計算されます。この場合も三角形の面積となり、

$\frac{1}{2} (6 - 0) \times 6 = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$

(2) 独占市場の場合:

企業の収入は、$P(Q) \times Q = (18 - 2Q)Q = 18Q - 2Q^2$ と表現できます。

よって、(ウ) は -2、(エ) は 18、(オ) は Q です。

企業の費用は $C(Q) = \frac{1}{2}Q^2$ です。

独占企業の利潤は、収入から費用を引いたものなので、$\pi(Q) = 18Q - 2Q^2 - \frac{1}{2}Q^2 = 18Q - \frac{5}{2}Q^2$ となります。

利潤を最大化するために、利潤を $Q$ で微分して 0 とおきます。

$\frac{d\pi}{dQ} = 18 - 5Q = 0$

$5Q = 18$

$Q^m = \frac{18}{5}$

よって、(カ) は 18 です。

利潤は $\pi(\frac{18}{5}) = 18(\frac{18}{5}) - \frac{5}{2}(\frac{18}{5})^2 = \frac{324}{5} - \frac{5}{2}(\frac{324}{25}) = \frac{324}{5} - \frac{324}{10} = \frac{648}{10} - \frac{324}{10} = \frac{324}{10} = \frac{162}{5} = 32.4$ となります。

3. 最終的な答え

(ア) 6

(イ) 6

(ウ) -2

(エ) 18

(オ) Q

(カ) 18

消費者余剰: 36

生産者余剰: 18

利潤: 32.4

独占企業の供給量: Qm = 18/5