与えられた行列 $A = \frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ に対して以下の問いに答えます。 (1) $A$ が直交行列であることを確認します。 (2) $x = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ とするとき、$|x| = |Ax|$ であることを確認します。 (3) $x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 、 $x_2 = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ 、 $y_1 = Ax_1$ 、 $y_2 = Ax_2$ とするとき、$x_1$ と $x_2$ のなす角を $\theta$ 、 $y_1$ と $y_2$ のなす角を $\theta'$ とすると、$\theta$ と $\theta'$ はどのような関係にあるかをまず答え、ついでそれを計算で確認します。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ に対して以下の問いに答えます。

(1) $A$ が直交行列であることを確認します。

(2) $x = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ とするとき、$|x| = |Ax|$ であることを確認します。

(3) $x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 、 $x_2 = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ 、 $y_1 = Ax_1$ 、 $y_2 = Ax_2$ とするとき、$x_1$ と $x_2$ のなす角を $\theta$ 、 $y_1$ と $y_2$ のなす角を $\theta'$ とすると、$\theta$ と $\theta'$ はどのような関係にあるかをまず答え、ついでそれを計算で確認します。

2. 解き方の手順

(1) $A$ が直交行列であるためには、$A^T A = I$ （$I$ は単位行列）を満たす必要があります。$A^T$ （$A$ の転置行列）を計算し、$A^T A$ を計算して単位行列になることを確認します。

(2) $|x|$ はベクトル $x$ のノルム（または長さ）を表します。$|x| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ で計算できます。まず、$x$ のノルム $|x|$ を計算します。次に、$Ax$ を計算し、そのノルム $|Ax|$ を計算します。そして、$|x| = |Ax|$ であることを確認します。

(3) 2つのベクトル $x_1$ と $x_2$ のなす角 $\theta$ は、内積を用いて $\cos \theta = \frac{x_1 \cdot x_2}{|x_1||x_2|}$ で計算できます。同様に、2つのベクトル $y_1$ と $y_2$ のなす角 $\theta'$ も $\cos \theta' = \frac{y_1 \cdot y_2}{|y_1||y_2|}$ で計算できます。

$A$が直交行列であるならば、ベクトルのなす角は、$A$による線形変換によって変化しないため、$\theta = \theta'$ となります。

(1)

$A = \frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

$A^T = \frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

$A^T A = \frac{1}{13} \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{13} \begin{pmatrix} 9+4 & -6+6 \\ -6+6 & 4+9 \end{pmatrix} = \frac{1}{13} \begin{pmatrix} 13 & 0 \\ 0 & 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

よって、$A$ は直交行列である。

(2)

$x = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

$|x| = \frac{1}{5}\sqrt{3^2 + 4^2} = \frac{1}{5}\sqrt{9+16} = \frac{1}{5}\sqrt{25} = \frac{1}{5} \cdot 5 = 1$

$Ax = \frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{5\sqrt{13}}\begin{pmatrix} -9+8 \\ 6+12 \end{pmatrix} = \frac{1}{5\sqrt{13}}\begin{pmatrix} -1 \\ 18 \end{pmatrix}$

$|Ax| = \frac{1}{5\sqrt{13}}\sqrt{(-1)^2 + 18^2} = \frac{1}{5\sqrt{13}}\sqrt{1+324} = \frac{1}{5\sqrt{13}}\sqrt{325} = \frac{\sqrt{325}}{5\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 13}}{5\sqrt{13}} = \frac{5\sqrt{13}}{5\sqrt{13}} = 1$

よって、$|x| = |Ax| = 1$

(3)

$x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 、 $x_2 = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

$|x_1| = 1$ 、 $|x_2| = 1$ （(2)より）

$x_1 \cdot x_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{5}(1 \cdot 3 + 0 \cdot 4) = \frac{3}{5}$

$\cos \theta = \frac{x_1 \cdot x_2}{|x_1||x_2|} = \frac{3/5}{1 \cdot 1} = \frac{3}{5}$

$y_1 = Ax_1 = \frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$

$y_2 = Ax_2 = \frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{5\sqrt{13}}\begin{pmatrix} -1 \\ 18 \end{pmatrix}$ （(2)より）

$y_1 \cdot y_2 = \frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{5\sqrt{13}}\begin{pmatrix} -1 \\ 18 \end{pmatrix} = \frac{1}{5 \cdot 13}(3+36) = \frac{39}{65} = \frac{3}{5}$

$|y_1| = \frac{1}{\sqrt{13}}\sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \frac{1}{\sqrt{13}}\sqrt{9+4} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = 1$

$|y_2| = 1$ （(2)より、$A$ は直交行列なのでノルムを保存する）

$\cos \theta' = \frac{y_1 \cdot y_2}{|y_1||y_2|} = \frac{3/5}{1 \cdot 1} = \frac{3}{5}$

$\cos \theta = \cos \theta' = \frac{3}{5}$

$\theta = \theta'$

よって、$\theta$ と $\theta'$ は等しい。

3. 最終的な答え

(1) $A$ は直交行列である。

(2) $|x| = |Ax| = 1$

(3) $\theta = \theta'$ 。 $\cos \theta = \cos \theta' = \frac{3}{5}$