与えられた6つの二次関数について、頂点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの二次関数について、頂点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ を平方完成し、$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形します。このとき、頂点の座標は $(p, q)$ となります。

(1) $y = x^2 + 2x - 3$

$y = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 3$

$y = (x+1)^2 - 4$

頂点の座標は $(-1, -4)$

(2) $y = x^2 - x + 2$

$y = (x^2 - x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 2$

$y = (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}$

頂点の座標は $(\frac{1}{2}, \frac{7}{4})$

(3) $y = x^2 - 5x + 6$

$y = (x^2 - 5x + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} + 6$

$y = (x-\frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}$

頂点の座標は $(\frac{5}{2}, -\frac{1}{4})$

(4) $y = 2x^2 + 6x + 2$

$y = 2(x^2 + 3x) + 2$

$y = 2(x^2 + 3x + \frac{9}{4}) - 2 \cdot \frac{9}{4} + 2$

$y = 2(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + \frac{4}{2}$

$y = 2(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{5}{2}$

頂点の座標は $(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{2})$

(5) $y = 3x^2 - 5x + 1$

$y = 3(x^2 - \frac{5}{3}x) + 1$

$y = 3(x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{25}{36}) - 3 \cdot \frac{25}{36} + 1$

$y = 3(x - \frac{5}{6})^2 - \frac{25}{12} + \frac{12}{12}$

$y = 3(x - \frac{5}{6})^2 - \frac{13}{12}$

頂点の座標は $(\frac{5}{6}, -\frac{13}{12})$

(6) $y = -5x^2 - 7x + 3$

$y = -5(x^2 + \frac{7}{5}x) + 3$

$y = -5(x^2 + \frac{7}{5}x + \frac{49}{100}) + 5 \cdot \frac{49}{100} + 3$

$y = -5(x + \frac{7}{10})^2 + \frac{49}{20} + \frac{60}{20}$

$y = -5(x + \frac{7}{10})^2 + \frac{109}{20}$

頂点の座標は $(-\frac{7}{10}, \frac{109}{20})$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(-1, -4)$

(2) 頂点の座標: $(\frac{1}{2}, \frac{7}{4})$

(3) 頂点の座標: $(\frac{5}{2}, -\frac{1}{4})$

(4) 頂点の座標: $(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{2})$

(5) 頂点の座標: $(\frac{5}{6}, -\frac{13}{12})$

(6) 頂点の座標: $(-\frac{7}{10}, \frac{109}{20})$