$x = 2 + \sqrt{3}$であるとき、以下の値を求めよ。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$, $x^4 + \frac{1}{x^4}$ (3) $x^6 + x^4 + x^3 + x + 1 + \frac{1}{x^2}$

1. 問題の内容

$x = 2 + \sqrt{3}$であるとき、以下の値を求めよ。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$, $x^4 + \frac{1}{x^4}$

(3) $x^6 + x^4 + x^3 + x + 1 + \frac{1}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $x = 2 + \sqrt{3}$ より、

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2 - \sqrt{3}$

したがって、

$x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$

(2) まず、$x^2$と$\frac{1}{x^2}$を計算する。

$x^2 = (2+\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$

$\frac{1}{x^2} = (2-\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$

よって、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (7 + 4\sqrt{3}) + (7 - 4\sqrt{3}) = 14$

次に、$x^4$と$\frac{1}{x^4}$を計算する。

$x^4 = (x^2)^2 = (7 + 4\sqrt{3})^2 = 49 + 56\sqrt{3} + 48 = 97 + 56\sqrt{3}$

$\frac{1}{x^4} = (\frac{1}{x^2})^2 = (7 - 4\sqrt{3})^2 = 49 - 56\sqrt{3} + 48 = 97 - 56\sqrt{3}$

よって、

$x^4 + \frac{1}{x^4} = (97 + 56\sqrt{3}) + (97 - 56\sqrt{3}) = 194$

(3)

$x+\frac{1}{x} = 4$ を利用する。

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$ である。

求める式は、

$x^6 + x^4 + x^3 + x + 1 + \frac{1}{x^2}$

$= x^6 + x^4 + x^3 + x + 1 + \frac{1}{x^2}$

式を$x^2$で割ると,

$\frac{x^6 + x^4 + x^3 + x + 1 + \frac{1}{x^2}}{x^2} = x^4 + x^2 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4}$

ここで、$x+\frac{1}{x}=4$より$x^2-4x+1=0$

$x^6 + x^4 + x^3 + x + 1 + \frac{1}{x^2} = x^6 + x^4 + x^3 + x + 1 + \frac{1}{x^2}$

$= (x^6 + \frac{1}{x^2}) + (x^4 + x^3 + x + 1)$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x+\frac{1}{x})^3 - 3(x+\frac{1}{x}) = 4^3 - 3(4) = 64-12 = 52$

$x^6+\frac{1}{x^2} = x^4(x^2+\frac{1}{x^4})$

$x^6 + x^4 + x^3 + x + 1 + \frac{1}{x^2} = (x^3)^2+x^4+x^3+x+1+\frac{1}{x^2}$

$=(x^3+\frac{1}{x^3}) + (x^4+\frac{1}{x^4}) + (x+\frac{1}{x}) +1= 52+194+4+1 = 251$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$, $x^4 + \frac{1}{x^4} = 194$

(3) 251