(1) $2x + y = 3$ のとき、$2x^2 + y^2$ の最小値を求める。 (2) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x + y = 8$ のとき、$xy$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) $2x + y = 3$ のとき、$2x^2 + y^2$ の最小値を求める。

(2) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x + y = 8$ のとき、$xy$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$2x+y=3$ より、$y = 3 - 2x$ である。これを $2x^2 + y^2$ に代入すると、

$2x^2 + (3-2x)^2 = 2x^2 + 9 - 12x + 4x^2 = 6x^2 - 12x + 9$

$= 6(x^2 - 2x) + 9 = 6(x^2 - 2x + 1 - 1) + 9 = 6(x-1)^2 - 6 + 9 = 6(x-1)^2 + 3$

これは $x=1$ のとき最小値 $3$ をとる。

$x=1$ のとき、$y = 3 - 2(1) = 1$

(2)

$2x + y = 8$ より、$y = 8 - 2x$ である。

$x \geq 0$ かつ $y \geq 0$ より、$x \geq 0$ かつ $8 - 2x \geq 0$ なので、$x \geq 0$ かつ $2x \leq 8$, つまり $x \geq 0$ かつ $x \leq 4$ である。

したがって、$0 \leq x \leq 4$ である。

$xy = x(8-2x) = 8x - 2x^2 = -2(x^2 - 4x) = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) = -2(x-2)^2 + 8$

これは $x=2$ のとき最大値 $8$ をとる。

このとき、$y = 8 - 2(2) = 4$ である。

$xy = x(8-2x)$ であり、$0 \leq x \leq 4$ である。

$x=0$ のとき、$xy = 0(8-2(0)) = 0$

$x=4$ のとき、$xy = 4(8-2(4)) = 4(0) = 0$

したがって、最小値は $0$ である。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 3

(2) 最大値: 8、最小値: 0