与えられた数（円周率 $\pi$, $\sqrt{\frac{9}{4}}$, ネイピア数 $e$）が有理数か無理数かを答える。

## 問題の解答

### 問1

1. 問題の内容

与えられた数（円周率 $\pi$, $\sqrt{\frac{9}{4}}$, ネイピア数 $e$）が有理数か無理数かを答える。

2. 解き方の手順

* $\pi$ (円周率) は無理数である。

* $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ であり、これは有理数である。

* $e$ (ネイピア数) は無理数である。

3. 最終的な答え

* (ア) 無理数

* (イ) 有理数

* (ウ) 無理数

### 問2

1. 問題の内容

* 2の倍数は、6の倍数であるための（ア）。

* 2の倍数である自然数は、有理数であるための（イ）。

* 関数 $f(x)$ がある $x=a$ において極大値 $f(a)=v$ を持つことは、その値 $v$ がすべての定義域において最大値であるための（ウ）。

2. 解き方の手順

* 2の倍数であることは、6の倍数であるための必要条件である。

* 2の倍数である自然数は、有理数であるための必要条件でも十分条件でもある。

* 関数 $f(x)$ がある $x=a$ において極大値 $f(a)=v$ を持つことは、その値 $v$ がすべての定義域において最大値であるための十分条件である。

3. 最終的な答え

* (ア) 必要条件

* (イ) 必要十分条件

* (ウ) 十分条件

### 問3

1. 問題の内容

次の連立方程式を解く。

(1) $\begin{cases} x+2y=3 \\ 2x+y=3 \end{cases}$

(2) $\begin{cases} 2x-y=2 \\ 3x+5y=3 \end{cases}$

(3) $\begin{cases} x-y+z=-2 \\ 2x+5y+z=7 \\ x+y+z=0 \end{cases}$

2. 解き方の手順

(1)

* 1つ目の式を2倍して $2x + 4y = 6$。2つ目の式から引くと、$3y=3$。よって $y=1$。

* $x + 2(1) = 3$ なので、$x = 1$。

(2)

* 1つ目の式を5倍して $10x - 5y = 10$。2つ目の式と足すと、$13x = 13$。よって $x=1$。

* $2(1) - y = 2$ なので、$y = 0$。

(3)

* 3つ目の式から1つ目の式を引くと $2y = 2$。よって $y = 1$。

* 3つ目の式から2つ目の式を引くと $-x - 4y = -7$。よって $x + 4y = 7$。$y = 1$ を代入すると $x = 3$。

* $x + y + z = 0$ より、$3 + 1 + z = 0$ なので、$z = -4$。

3. 最終的な答え

* (ア) 1

* (イ) 1

* (ウ) 1

* (エ) 0

* (オ) 3

* (カ) 1

* (キ) 4

### 問4

1. 問題の内容

方程式 $|x^2 - x - 6| = 2x$ について考える。

2. 解き方の手順

(1) $|x^2 - x - 6|$ について、$-(ア) < x < (イ)$ では、$x^2 - x - 6$ の値は負になる。

$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$

よって、$x^2 - x - 6 < 0$ となるのは、$-2 < x < 3$ のとき。

したがって、(ア) = 2, (イ) = 3。

3. 最終的な答え

* (ア) 2

* (イ) 3