方程式 $|x^2 - x - 6| = 2x$ について、以下の問いに答える。 (1) $x^2 - x - 6$ について、-(ア) < x < (イ)では、$x^2 - x - 6$ の値は負になる。 (2) -(ア) < x < (イ)において、$|x^2 - x - 6| = 2x$ を満たす $x$ = (ウ) である。 (3) $x^2 - x - 6 = 2x$ を満たす $x$ は $x = \frac{(オ) \pm \sqrt{(※)}}{(エ)}$ となる。 よって、$|x^2 - x - 6|$ の値が負ではない $x$ の範囲を考えると、方程式 $|x^2 - x - 6| = 2x$ が成立する $x$ の値は (カ) つ存在する。

1. 問題の内容

方程式 $|x^2 - x - 6| = 2x$ について、以下の問いに答える。

(1) $x^2 - x - 6$ について、-(ア) < x < (イ)では、$x^2 - x - 6$ の値は負になる。

(2) -(ア) < x < (イ)において、$|x^2 - x - 6| = 2x$ を満たす $x$ = (ウ) である。

(3) $x^2 - x - 6 = 2x$ を満たす $x$ は $x = \frac{(オ) \pm \sqrt{(※)}}{(エ)}$ となる。

よって、$|x^2 - x - 6|$ の値が負ではない $x$ の範囲を考えると、方程式 $|x^2 - x - 6| = 2x$ が成立する $x$ の値は (カ) つ存在する。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - x - 6$ の符号を調べる。$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ より、$x^2 - x - 6 < 0$ となるのは $-2 < x < 3$ のときである。よって、(ア) = 2, (イ) = 3。

(2) $-2 < x < 3$ のとき、$|x^2 - x - 6| = -(x^2 - x - 6) = -x^2 + x + 6$ である。したがって、$-x^2 + x + 6 = 2x$ を解くと、$x^2 + x - 6 = 0$ より $(x + 3)(x - 2) = 0$。よって、$x = -3, 2$。$-2 < x < 3$ を満たすのは $x = 2$。したがって、(ウ) = 2。

(3) $x^2 - x - 6 = 2x$ より、$x^2 - 3x - 6 = 0$。解の公式より、

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$

よって、(オ) = 3, (※) = 33, (エ) = 2。

$|x^2 - x - 6|$ の値が負ではない $x$ の範囲を考えると、

$x \le -2$ または $x \ge 3$ のとき $|x^2 - x - 6| = x^2 - x - 6$

$-2 < x < 3$ のとき $|x^2 - x - 6| = -x^2 + x + 6$

$x \le -2$ または $x \ge 3$ のとき、$x^2 - x - 6 = 2x$ を解くと、$x^2 - 3x - 6 = 0$。これは(3)と同じで$x = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$となる。

$x \le -2$ を満たすのは $x = \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \approx -1.37$ (これは満たさない)

$x \ge 3$ を満たすのは $x = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \approx 4.37$

$-2 < x < 3$のとき、$|x^2 - x - 6| = -x^2 + x + 6 = 2x$ より、$-x^2 - x + 6 = 0$, $x^2 + x - 6 = 0$, $(x+3)(x-2)=0$, $x=2,-3$。$-2 < x < 3$を満たすのは$x = 2$.

解は、$x = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}, 2$

よって、(カ) = 2。

3. 最終的な答え

(ア) = 2

(イ) = 3

(ウ) = 2

(オ) = 3

(※) = 33

(エ) = 2

(カ) = 2