与えられた7つの行列の逆行列を求めます。

はい、承知いたしました。各行列の逆行列を求める問題ですね。$a \neq 0$ という条件があります。

1. 問題の内容

与えられた7つの行列の逆行列を求めます。

2. 解き方の手順

各行列について、以下の手順で逆行列を求めます。

* **行列式を計算する。** 行列式が0でなければ、逆行列が存在します。

* **余因子行列を計算する。**

* **余因子行列の転置行列 (随伴行列) を計算する。**

* **随伴行列を行列式で割る。** これが逆行列です。

ただし、４次の行列については掃き出し法を用いる方が計算が楽な場合があります。

行列によっては、ある行の定数倍を他の行に足したり引いたりして、行を簡約化してから行列式を計算すると楽になる場合があります。

(1)

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ について考えます。

行列式は

$|A| = 2 \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2(1-0) + (-2-(-1)) = 2 -1 = 1$

余因子行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

転置行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

行列式が1なので、逆行列は余因子行列の転置行列に等しいです。

(2)

行列 $A = \begin{pmatrix} -3 & -6 & 2 \\ 3 & 5 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$ について考えます。

行列式は

$|A| = -3 \begin{vmatrix} 5 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} - (-6) \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -3(-5+6) + 6(-3+2) + 2(9-5) = -3 -6 + 8 = -1$

余因子行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & -12 & 3 \end{pmatrix}$

転置行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -12 \\ 4 & 3 & 3 \end{pmatrix}$

行列式が-1なので、逆行列は余因子行列の転置行列に-1を掛けたものです。

(3)

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 5 \end{pmatrix}$ について考えます。

行列式は

$|A| = 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (5-1) - (5-(-1)) - (1-(-1)) = 4 - 6 - 2 = -4$

余因子行列は

$\begin{pmatrix} 4 & -6 & 2 \\ -6 & 4 & -2 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

転置行列は

$\begin{pmatrix} 4 & -6 & 2 \\ -6 & 4 & 2 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}$

行列式が-4なので、逆行列は余因子行列の転置行列を-4で割ったものです。

(4)

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ について考えます。

これは上三角行列なので、行列式は対角成分の積で計算できます。$|A| = 1 * 1 * 1 * 1 = 1$

また、逆行列も上三角行列になります。

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(5)

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ について考えます。

行列式は

$|A| = 2 \begin{vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 * 1 * \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 1 * (-1) * \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 2*(-3+2) - 1 * (3) = -2 - 3 = -5$

掃き出し法で逆行列を計算すると

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3/5 & -3/5 & -2/5 \\ -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2/5 & 2/5 & 3/5 \end{pmatrix}$

(6)

行列 $A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$ について考えます。

これは上三角行列なので、行列式は対角成分の積で計算できます。$|A| = a * a * a = a^3$

余因子行列は

$\begin{pmatrix} a^2 & 0 & 0 \\ -a & a^2 & 0 \\ 1-a^2 & -a & a^2 \end{pmatrix}$

転置行列は

$\begin{pmatrix} a^2 & -a & 1-a^2 \\ 0 & a^2 & -a \\ 0 & 0 & a^2 \end{pmatrix}$

逆行列は余因子行列の転置行列を$a^3$で割ったものです。

(7)

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -a+1 \\ 2 & 3 & 2a \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ について考えます。

行列式は

$|A| = 1(3-2a) - 1(2-2a) + (-a+1)(2-3) = 3 - 2a - 2 + 2a + a - 1 = a$

余因子行列は

$\begin{pmatrix} 3-2a & -2a-2 & -1 \\ -a & a+1 & 0 \\ 5a-3 & -4a+1 & 1 \end{pmatrix}$

転置行列は

$\begin{pmatrix} 3-2a & -a & 5a-3 \\ -2a-2 & a+1 & -4a+1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

逆行列は余因子行列の転置行列を$a$で割ったものです。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} -1 & 0 & -2 \\ -1 & -1 & 12 \\ -4 & -3 & -3 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} -1 & 3/2 & -1/2 \\ 3/2 & -1 & -1/2 \\ -1/2 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(5) $\begin{pmatrix} 1/5 & 0 & -1/5 & 0 \\ 0 & -3/5 & -3/5 & -2/5 \\ 0 & 1/5 & 2/5 & 0 \\ 0 & 2/5 & 2/5 & 3/5 \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} 1/a & -1/a^2 & (1-a^2)/a^3 \\ 0 & 1/a & -1/a^2 \\ 0 & 0 & 1/a \end{pmatrix}$

(7) $\begin{pmatrix} (3-2a)/a & -1 & (5a-3)/a \\ (-2a-2)/a & (a+1)/a & (-4a+1)/a \\ -1/a & 0 & 1/a \end{pmatrix}$