2次方程式の解 $\alpha$ と $\beta$ が与えられており、$\alpha + \beta = -2$、$\alpha \beta = -6$ である。このとき、2点間の距離 $AB$ を求める問題である。$AB = \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + \{(\beta+2) - (\alpha+2)\}^2}$ で表される。

1. 問題の内容

2次方程式の解 $\alpha$ と $\beta$ が与えられており、$\alpha + \beta = -2$、$\alpha \beta = -6$ である。このとき、2点間の距離 $AB$ を求める問題である。$AB = \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + \{(\beta+2) - (\alpha+2)\}^2}$ で表される。

2. 解き方の手順

まず、$AB$ の式を簡略化する。

$AB = \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + \{(\beta+2) - (\alpha+2)\}^2} = \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + (\beta - \alpha)^2} = \sqrt{2(\beta - \alpha)^2}$

次に、$(\beta - \alpha)^2$ を $\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ を用いて表す。

$(\beta - \alpha)^2 = (\beta + \alpha)^2 - 4\alpha \beta = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$

与えられた値を代入する。

$(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (-2)^2 - 4(-6) = 4 + 24 = 28$

したがって、$AB = \sqrt{2(\beta - \alpha)^2} = \sqrt{2 \cdot 28} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{14}$