与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 頂点の座標と、通る一点が与えられた場合。 (2) 通る3点の座標が与えられた場合。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 頂点の座標と、通る一点が与えられた場合。

(2) 通る3点の座標が与えられた場合。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標が $(-1, 3)$ であることから、2次関数は

$y = a(x+1)^2 + 3$

と表せます。このグラフが点 $(-2, 7)$ を通ることから、$x = -2$, $y = 7$ を代入すると

$7 = a(-2+1)^2 + 3$

$7 = a(-1)^2 + 3$

$7 = a + 3$

$a = 4$

したがって、2次関数は

$y = 4(x+1)^2 + 3$

$y = 4(x^2 + 2x + 1) + 3$

$y = 4x^2 + 8x + 4 + 3$

$y = 4x^2 + 8x + 7$

(2) 3点 $(-1, -6)$, $(1, -2)$, $(3, 10)$ を通る2次関数を求めます。2次関数を

$y = ax^2 + bx + c$

とおきます。3点の座標を代入すると

$-6 = a(-1)^2 + b(-1) + c$

$-6 = a - b + c$

$-2 = a(1)^2 + b(1) + c$

$-2 = a + b + c$

$10 = a(3)^2 + b(3) + c$

$10 = 9a + 3b + c$

この連立方程式を解きます。

$a - b + c = -6$

$a + b + c = -2$

$9a + 3b + c = 10$

まず、最初の2つの式を引き算すると

$(a - b + c) - (a + b + c) = -6 - (-2)$

$-2b = -4$

$b = 2$

これを2番目と3番目の式に代入すると

$a + 2 + c = -2$

$9a + 3(2) + c = 10$

$a + c = -4$

$9a + c = 4$

これらの式を引き算すると

$(9a + c) - (a + c) = 4 - (-4)$

$8a = 8$

$a = 1$

$a + c = -4$ に $a = 1$ を代入すると

$1 + c = -4$

$c = -5$

したがって、2次関数は

$y = x^2 + 2x - 5$

3. 最終的な答え

(1) $y = 4x^2 + 8x + 7$

(2) $y = x^2 + 2x - 5$