多項式 $x^3 + x^2 - 21x - 45$ を組立除法を用いて因数分解します。

1. 問題の内容

多項式 $x^3 + x^2 - 21x - 45$ を組立除法を用いて因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、定数項 $-45$ の約数をいくつか試して、$x^3 + x^2 - 21x - 45 = 0$ となる $x$ の値を探索します。

$x = -3$ を代入すると、$(-3)^3 + (-3)^2 - 21(-3) - 45 = -27 + 9 + 63 - 45 = 0$ となるので、$x = -3$ は解の一つです。

したがって、$x+3$ は因数です。

組立除法を実行します。

\begin{array}{c|cccc}

-3 & 1 & 1 & -21 & -45 \\

& & -3 & 6 & 45 \\

\hline

& 1 & -2 & -15 & 0 \\

\end{array}

上記の計算より、

$x^3 + x^2 - 21x - 45 = (x+3)(x^2 - 2x - 15)$

さらに、二次式 $x^2 - 2x - 15$ を因数分解します。

$x^2 - 2x - 15 = (x-5)(x+3)$

したがって、

$x^3 + x^2 - 21x - 45 = (x+3)(x^2 - 2x - 15) = (x+3)(x-5)(x+3) = (x+3)^2(x-5)$

3. 最終的な答え

$(x+3)^2(x-5)$