2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが点 $(4, -4)$ を通り、$x=2$ で最大値 $8$ をとるとき、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

代数学二次関数最大値グラフ定数
2025/8/1

1. 問題の内容

2次関数 y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c のグラフが点 (4,4)(4, -4) を通り、x=2x=2 で最大値 88 をとるとき、定数 aa, bb, cc の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次関数が x=2x=2 で最大値 88 をとることから、関数は y=a(x2)2+8y = a(x-2)^2 + 8 と表すことができます。ここで、a<0a<0 であることに注意します。
このグラフが点 (4,4)(4, -4) を通ることから、x=4x=4, y=4y=-4 を代入します。
4=a(42)2+8-4 = a(4-2)^2 + 8
4=4a+8-4 = 4a + 8
4a=124a = -12
a=3a = -3
よって、2次関数は y=3(x2)2+8y = -3(x-2)^2 + 8 と表せます。これを展開して、y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c の形にします。
y=3(x24x+4)+8y = -3(x^2 - 4x + 4) + 8
y=3x2+12x12+8y = -3x^2 + 12x - 12 + 8
y=3x2+12x4y = -3x^2 + 12x - 4
したがって、a=3a = -3, b=12b = 12, c=4c = -4 となります。

3. 最終的な答え

a=3a = -3, b=12b = 12, c=4c = -4

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