与えられた連立1次方程式を行列で表現し、掃き出し法を用いて解く問題です。画像には、連立1次方程式を行列で表現したものが一部と、掃き出し法の途中経過が書かれています。 $ \begin{cases} 2x - y + 5z = -1 \\ 2y + 2z = 6 \\ x + 3z = 1 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた連立1次方程式を行列で表現し、掃き出し法を用いて解く問題です。画像には、連立1次方程式を行列で表現したものが一部と、掃き出し法の途中経過が書かれています。

$$

\begin{cases}

2x - y + 5z = -1 \\

2y + 2z = 6 \\

x + 3z = 1

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、画像に書かれている操作を確認します。

* 1行目を2で割る:

$

\begin{pmatrix}

2 & -1 & 5 & -1 \\

0 & 2 & 2 & 6 \\

1 & 0 & 3 & 1

\end{pmatrix}

\rightarrow

\begin{pmatrix}

1 & -\frac{1}{2} & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & 2 & 2 & 6 \\

1 & 0 & 3 & 1

\end{pmatrix}

$

* 2行目を2で割る：

$

\begin{pmatrix}

1 & -\frac{1}{2} & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & 2 & 2 & 6 \\

1 & 0 & 3 & 1

\end{pmatrix}

\rightarrow

\begin{pmatrix}

1 & -\frac{1}{2} & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & 1 & 1 & 3 \\

1 & 0 & 3 & 1

\end{pmatrix}

$

* 3行目から1行目を引く

$

\begin{pmatrix}

1 & -\frac{1}{2} & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & 1 & 1 & 3 \\

1 & 0 & 3 & 1

\end{pmatrix}

\rightarrow

\begin{pmatrix}

1 & -\frac{1}{2} & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & 1 & 1 & 3 \\

0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2}

\end{pmatrix}

$

* 3行目から2行目の$\frac{1}{2}$倍を引く

$

\begin{pmatrix}

1 & -\frac{1}{2} & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & 1 & 1 & 3 \\

0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2}

\end{pmatrix}

\rightarrow

\begin{pmatrix}

1 & -\frac{1}{2} & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & 1 & 1 & 3 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$

* 1行目に2行目の$\frac{1}{2}$倍を足す

$

\begin{pmatrix}

1 & -\frac{1}{2} & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & 1 & 1 & 3 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

\rightarrow

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 3 & 1 \\

0 & 1 & 1 & 3 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$

最終的な行列から、以下の式が得られます。

$$

\begin{cases}

x + 3z = 1 \\

y + z = 3

\end{cases}

$$

$z=k$とすると

$x = 1-3k$

$y = 3-k$

3. 最終的な答え

$$

\begin{cases}

x = 1 - 3k \\

y = 3 - k \\

z = k

\end{cases}

$ (kは任意の実数)