与えられた2つの行列の逆行列を求める。 (1) $A = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}$ (2) $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ -1 & 1 & 3 \\ 2 & 6 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた2つの行列の逆行列を求める。

(1) $A = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ -1 & 1 & 3 \\ 2 & 6 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の場合

行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列は、行列式 $ad - bc$ が0でないとき、

$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ で求められる。

* 行列式を計算する:

$\text{det}(A) = (-3)(-5) - (4)(1) = 15 - 4 = 11$

* 逆行列を計算する:

$A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} -5 & -4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5/11 & -4/11 \\ -1/11 & -3/11 \end{pmatrix}$

(2) 3x3行列の場合

行列 $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ の逆行列は、行列式 $\text{det}(A)$ が0でないとき、以下の手順で求める。

* 行列式を計算する:

$\text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$

$\text{det}(A) = 1(1*1 - 3*6) - 4(-1*1 - 3*2) + 2(-1*6 - 1*2)$

$= 1(1 - 18) - 4(-1 - 6) + 2(-6 - 2)$

$= -17 - 4(-7) + 2(-8)$

$= -17 + 28 - 16$

$= -5$

* 余因子行列を計算する:

$C = \begin{pmatrix} (1*1 - 3*6) & -(-1*1 - 3*2) & (-1*6 - 1*2) \\ -(4*1 - 2*6) & (1*1 - 2*2) & -(1*6 - 4*2) \\ (4*3 - 2*1) & -(1*3 - 2*-1) & (1*1 - 4*-1) \end{pmatrix}$

$C = \begin{pmatrix} -17 & 7 & -8 \\ -(-8) & -3 & -( -2) \\ 10 & -(5) & 5 \end{pmatrix}$

$C = \begin{pmatrix} -17 & 7 & -8 \\ 8 & -3 & 2 \\ 10 & -5 & 5 \end{pmatrix}$

* 転置余因子行列（随伴行列）を計算する:

$C^T = \begin{pmatrix} -17 & 8 & 10 \\ 7 & -3 & -5 \\ -8 & 2 & 5 \end{pmatrix}$

* 逆行列を計算する:

$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} C^T = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix} -17 & 8 & 10 \\ 7 & -3 & -5 \\ -8 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17/5 & -8/5 & -2 \\ -7/5 & 3/5 & 1 \\ 8/5 & -2/5 & -1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A^{-1} = \begin{pmatrix} -5/11 & -4/11 \\ -1/11 & -3/11 \end{pmatrix}$

(2) $A^{-1} = \begin{pmatrix} 17/5 & -8/5 & -2 \\ -7/5 & 3/5 & 1 \\ 8/5 & -2/5 & -1 \end{pmatrix}$