次の連立方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。 (1) $5x_1 + 2x_2 = 1$ $x_1 + 5x_2 = 7$ (2) $-6x_1 + 5x_2 = 2$ $4x_1 + 2x_2 = 8$

1. 問題の内容

次の連立方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。

(1)

$5x_1 + 2x_2 = 1$

$x_1 + 5x_2 = 7$

(2)

$-6x_1 + 5x_2 = 2$

$4x_1 + 2x_2 = 8$

2. 解き方の手順

クラメルの公式は、連立一次方程式の解を係数行列の行列式を用いて表す公式です。

連立一次方程式を次のように表します。

$ax_1 + bx_2 = p$

$cx_1 + dx_2 = q$

このとき、$x_1$ と $x_2$ は次のように求められます。

$x_1 = \frac{\begin{vmatrix} p & b \\ q & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}$

$x_2 = \frac{\begin{vmatrix} a & p \\ c & q \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}$

ただし、分母の行列式$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ は0でないものとします。

(1)

$5x_1 + 2x_2 = 1$

$x_1 + 5x_2 = 7$

係数行列の行列式を計算します。

$D = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 5 \times 5 - 2 \times 1 = 25 - 2 = 23$

$x_1 = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 5 \end{vmatrix}}{23} = \frac{1 \times 5 - 2 \times 7}{23} = \frac{5 - 14}{23} = \frac{-9}{23}$

$x_2 = \frac{\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 7 \end{vmatrix}}{23} = \frac{5 \times 7 - 1 \times 1}{23} = \frac{35 - 1}{23} = \frac{34}{23}$

(2)

$-6x_1 + 5x_2 = 2$

$4x_1 + 2x_2 = 8$

係数行列の行列式を計算します。

$D = \begin{vmatrix} -6 & 5 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = -6 \times 2 - 5 \times 4 = -12 - 20 = -32$

$x_1 = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 8 & 2 \end{vmatrix}}{-32} = \frac{2 \times 2 - 5 \times 8}{-32} = \frac{4 - 40}{-32} = \frac{-36}{-32} = \frac{9}{8}$

$x_2 = \frac{\begin{vmatrix} -6 & 2 \\ 4 & 8 \end{vmatrix}}{-32} = \frac{-6 \times 8 - 2 \times 4}{-32} = \frac{-48 - 8}{-32} = \frac{-56}{-32} = \frac{7}{4}$

3. 最終的な答え

(1)

$x_1 = -\frac{9}{23}$

$x_2 = \frac{34}{23}$

(2)

$x_1 = \frac{9}{8}$

$x_2 = \frac{7}{4}$