円 $(x-2)^2 + (y+3)^2 = r^2$ と直線 $3x + y - 5 = 0$ が共有点をもたないとき、正の数 $r$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $(x-2)^2 + (y+3)^2 = r^2$ と直線 $3x + y - 5 = 0$ が共有点をもたないとき、正の数 $r$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点をもたない条件は、円の中心と直線の距離が半径よりも大きいことです。

円の中心 $(2, -3)$ と直線 $3x + y - 5 = 0$ の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式を用いて計算できます。

$d = \frac{|3(2) + (-3) - 5|}{\sqrt{3^2 + 1^2}}$

$d = \frac{|6 - 3 - 5|}{\sqrt{9 + 1}}$

$d = \frac{|-2|}{\sqrt{10}}$

$d = \frac{2}{\sqrt{10}}$

$d = \frac{2\sqrt{10}}{10}$

$d = \frac{\sqrt{10}}{5}$

円と直線が共有点をもたない条件は、$d > r$ です。したがって、

$\frac{\sqrt{10}}{5} > r$

すなわち、

$r < \frac{\sqrt{10}}{5}$

3. 最終的な答え

$0 < r < \frac{\sqrt{10}}{5}$