(1) 3直線 $x+3y=5$, $2x-y=3$, $ax+y=0$ が三角形を作らないような $a$ の値を求める。 (2) 点 $(3, 1)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 5$ に接する接線の方程式を求める。 (3) 点 $(-1, 7)$ から円 $x^2 + y^2 = 25$ に引いた2本の接線の接点をA, Bとするとき、直線ABの方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 3直線 $x+3y=5$, $2x-y=3$, $ax+y=0$ が三角形を作らないような $a$ の値を求める。

(2) 点 $(3, 1)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 5$ に接する接線の方程式を求める。

(3) 点 $(-1, 7)$ から円 $x^2 + y^2 = 25$ に引いた2本の接線の接点をA, Bとするとき、直線ABの方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 3直線が三角形を作らない条件は、

(i) 3直線が平行。

(ii) 2直線が平行で、残りの1直線がそれらと交わる。

(iii) 3直線が1点で交わる。

まず、与えられた2直線 $x+3y=5$ と $2x-y=3$ の交点を求める。

連立方程式を解くと、

$x+3y=5$

$2x-y=3$

より、2式を足して、$7x = 14$ となり、$x=2$。

$x=2$ を $x+3y=5$ に代入すると、$2+3y=5$ より、$3y=3$ となり、$y=1$。

よって、交点は $(2, 1)$。

(i) $ax+y=0$ が $x+3y=5$ と平行のとき、傾きが等しい。

$x+3y=5$ より $y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$ なので、傾きは $-\frac{1}{3}$。

$ax+y=0$ より $y = -ax$ なので、傾きは $-a$。

よって、$a = \frac{1}{3}$。

$ax+y=0$ が $2x-y=3$ と平行のとき、傾きが等しい。

$2x-y=3$ より $y = 2x - 3$ なので、傾きは $2$。

$ax+y=0$ より $y = -ax$ なので、傾きは $-a$。

よって、$a = -2$。

(iii) $ax+y=0$ が $(2, 1)$ を通るとき、

$2a+1=0$ より、$a = -\frac{1}{2}$。

以上より、$a = \frac{1}{3}, -2, -\frac{1}{2}$

(2) 接点を $(s, t)$ とすると、$s^2 + t^2 = 5$。

接線の方程式は $sx + ty = 5$。

この直線が $(3, 1)$ を通るので、$3s + t = 5$。

$t = 5 - 3s$ を $s^2 + t^2 = 5$ に代入すると、

$s^2 + (5-3s)^2 = 5$

$s^2 + 25 - 30s + 9s^2 = 5$

$10s^2 - 30s + 20 = 0$

$s^2 - 3s + 2 = 0$

$(s-1)(s-2) = 0$

$s = 1, 2$

$s=1$ のとき、$t = 5 - 3(1) = 2$

$s=2$ のとき、$t = 5 - 3(2) = -1$

よって、接線の方程式は $x+2y=5$ または $2x-y=5$。

(3) 接点を $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ とすると、接線の方程式はそれぞれ $x_1x + y_1y = 25$, $x_2x + y_2y = 25$。

点 $(-1, 7)$ はこれらの接線を通るので、$-x_1 + 7y_1 = 25$, $-x_2 + 7y_2 = 25$ が成り立つ。

これは、直線 $-x + 7y = 25$ が点 $(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$ を通ることを意味する。

したがって、直線ABの方程式は $-x + 7y = 25$。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{3}, -2, -\frac{1}{2}$

(2) $x+2y=5$, $2x-y=5$

(3) $-x+7y=25$