座標空間内に3点 $A(0, 0, 2)$、$B(2, 0, 0)$、$C(0, 2, 0)$ がある。点 $(0, 0, 1)$ を中心とする半径1の球面を $S$ とする。球面 $S$ と直線 $AB$ との交点のうち $A$ でないものを $D$ とし、球面 $S$ と直線 $AC$ との交点のうち $A$ でないものを $E$ とする。$\angle AED = \alpha$ とするとき、$\sin \alpha$ を求めよ。

1. 問題の内容

座標空間内に3点 $A(0, 0, 2)$、$B(2, 0, 0)$、$C(0, 2, 0)$ がある。点 $(0, 0, 1)$ を中心とする半径1の球面を $S$ とする。球面 $S$ と直線 $AB$ との交点のうち $A$ でないものを $D$ とし、球面 $S$ と直線 $AC$ との交点のうち $A$ でないものを $E$ とする。$\angle AED = \alpha$ とするとき、$\sin \alpha$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、直線 $AB$ および直線 $AC$ の方程式を求める。

直線 $AB$ は、点 $A(0, 0, 2)$ を通り、方向ベクトルが $\overrightarrow{AB} = (2, 0, -2)$ であるから、媒介変数表示すると、

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\begin{cases}

x = 2t \\

y = 0 \\

z = 2 - 2t

\end{cases}

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直線 $AC$ は、点 $A(0, 0, 2)$ を通り、方向ベクトルが $\overrightarrow{AC} = (0, 2, -2)$ であるから、媒介変数表示すると、

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\begin{cases}

x = 0 \\

y = 2s \\

z = 2 - 2s

\end{cases}

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次に、球面 $S$ の方程式を求める。中心が $(0, 0, 1)$ で半径が 1 であるから、

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x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 1

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点 $D$ は直線 $AB$ 上にあり、かつ球面 $S$ 上にあるので、

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(2t)^2 + 0^2 + (2 - 2t - 1)^2 = 1

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4t^2 + (1 - 2t)^2 = 1

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4t^2 + 1 - 4t + 4t^2 = 1

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8t^2 - 4t = 0

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4t(2t - 1) = 0

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$t = 0, \frac{1}{2}$。$t = 0$ は点 $A$ に対応するので、$t = \frac{1}{2}$ が点 $D$ に対応する。

したがって、点 $D$ の座標は $(1, 0, 1)$ である。

点 $E$ は直線 $AC$ 上にあり、かつ球面 $S$ 上にあるので、

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0^2 + (2s)^2 + (2 - 2s - 1)^2 = 1

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4s^2 + (1 - 2s)^2 = 1

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4s^2 + 1 - 4s + 4s^2 = 1

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8s^2 - 4s = 0

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4s(2s - 1) = 0

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$s = 0, \frac{1}{2}$。$s = 0$ は点 $A$ に対応するので、$s = \frac{1}{2}$ が点 $E$ に対応する。

したがって、点 $E$ の座標は $(0, 1, 1)$ である。

$\overrightarrow{EA} = (0, -1, 1)$、$\overrightarrow{ED} = (1, -1, 0)$ であるから、

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\cos \alpha = \frac{\overrightarrow{EA} \cdot \overrightarrow{ED}}{|\overrightarrow{EA}| |\overrightarrow{ED}|} = \frac{0 + 1 + 0}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{1}{2}

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よって、$\alpha = \frac{\pi}{3}$ である。したがって、$\sin \alpha = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}}{2}$