正五角形 $A_0A_1A_2A_3A_4$ があり、いくつかの三角形の重心 $B_i, C_i$ が定義されています。$\theta = 72^\circ$ として、以下の問題を解きます。 (1) $A_0(1,0)$、$A_1(\cos\theta, \sin\theta)$ であるとき、$A_2, A_3, A_4$ の座標を $\theta$ で表す。 (2) 図2を参考にして、$\cos 72^\circ$ と $\cos 36^\circ$ の値を求める。ただし、二重根号は用いない。 (3) 3点 $A_1, B_1, C_1$ は同一直線上にあることを示す。 (4) 五角形 $A_0A_1A_2A_3A_4$ の面積を $S_a$、五角形 $B_0B_1B_2B_3B_4$ の面積を $S_b$、五角形 $C_0C_1C_2C_3C_4$ の面積を $S_c$ とするとき、面積比 $S_a : S_b : S_c$ を求める。

1. 問題の内容

正五角形 $A_0A_1A_2A_3A_4$ があり、いくつかの三角形の重心 $B_i, C_i$ が定義されています。$\theta = 72^\circ$ として、以下の問題を解きます。

(1) $A_0(1,0)$、$A_1(\cos\theta, \sin\theta)$ であるとき、$A_2, A_3, A_4$ の座標を $\theta$ で表す。

(2) 図2を参考にして、$\cos 72^\circ$ と $\cos 36^\circ$ の値を求める。ただし、二重根号は用いない。

(3) 3点 $A_1, B_1, C_1$ は同一直線上にあることを示す。

(4) 五角形 $A_0A_1A_2A_3A_4$ の面積を $S_a$、五角形 $B_0B_1B_2B_3B_4$ の面積を $S_b$、五角形 $C_0C_1C_2C_3C_4$ の面積を $S_c$ とするとき、面積比 $S_a : S_b : S_c$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

正五角形の一つの内角は $\frac{180(5-2)}{5} = 108^\circ$ です。

$A_0(1,0)$、$A_1(\cos\theta, \sin\theta)$ より、$\theta = 72^\circ$ です。

$A_2, A_3, A_4$ の座標は以下のようになります。

$A_2(\cos 2\theta, \sin 2\theta) = (\cos 144^\circ, \sin 144^\circ)$

$A_3(\cos 3\theta, \sin 3\theta) = (\cos 216^\circ, \sin 216^\circ)$

$A_4(\cos 4\theta, \sin 4\theta) = (\cos 288^\circ, \sin 288^\circ)$

(2)

図2より、$A_3A_4 = DA_4$ なので、$\triangle A_3DA_4$ は二等辺三角形です。

$A_3A_1 = A_1A_4$ であることから、$\angle A_3DA_4 = 108^\circ$ と $\angle DA_3A_4 = \angle DA_4A_3 = 36^\circ$ がわかります。

$A_1A_4$の中点をMとすると、$\triangle A_1MA_4$は直角三角形で、$\angle MA_1A_4 = 36^\circ$となります。

$A_3A_4 = x$とすると、$A_1A_4 = 1$より、$\frac{x}{1} = \frac{1 - x}{x}$

$x^2 + x - 1 = 0$

$x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ (正の値のみを取る)

$\cos 36^\circ = \frac{A_4M}{A_1A_4} = \frac{x/2}{1} = \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$\cos 72^\circ = 2\cos^2 36^\circ - 1 = 2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 - 1 = 2\frac{5-2\sqrt{5}+1}{16} - 1 = \frac{6-2\sqrt{5}}{8} - 1 = \frac{3-\sqrt{5}}{4} - 1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4}$

ここで $\cos 72^\circ$ は正である必要があるため、$cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

(3)

$B_1$は$\triangle A_0A_1A_2$の重心なので、$\vec{OB_1} = \frac{\vec{OA_0} + \vec{OA_1} + \vec{OA_2}}{3}$

$C_1$は$\triangle A_1A_3A_4$の重心なので、$\vec{OC_1} = \frac{\vec{OA_1} + \vec{OA_3} + \vec{OA_4}}{3}$

$A_1, B_1, C_1$が同一直線上にあるためには、$\vec{A_1B_1} = k\vec{A_1C_1}$となる実数$k$が存在する必要があります。

$\vec{A_1B_1} = \vec{OB_1} - \vec{OA_1} = \frac{\vec{OA_0} + \vec{OA_1} + \vec{OA_2}}{3} - \vec{OA_1} = \frac{\vec{OA_0} - 2\vec{OA_1} + \vec{OA_2}}{3}$

$\vec{A_1C_1} = \vec{OC_1} - \vec{OA_1} = \frac{\vec{OA_1} + \vec{OA_3} + \vec{OA_4}}{3} - \vec{OA_1} = \frac{-2\vec{OA_1} + \vec{OA_3} + \vec{OA_4}}{3}$

$A_i$の座標を用いて計算する

(4)

正五角形の面積は、$S_a = \frac{5}{4} \cot(\frac{\pi}{5}) a^2$ (aは辺の長さ)

$S_a:S_b:S_c$ を求める。

$S_a = 1$ とする

3. 最終的な答え

(1)

$A_2(\cos 144^\circ, \sin 144^\circ)$

$A_3(\cos 216^\circ, \sin 216^\circ)$

$A_4(\cos 288^\circ, \sin 288^\circ)$

(2)

$\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$

(3)

未解答

(4)

未解答