実数 $t$ に対して、円 $C: x^2 + y^2 - 2(t-1)x + ty + 2t - 3 = 0$ が与えられている。$t$ の値が変化するとき、円 $C$ の中心はある直線上を移動し、円の大きさも変化する。以下の問いに答えよ。 (1) 円 $C$ の中心が通る直線の式を $y = ax + b$ の形で表したときの $a, b$ を求めよ。 (2) 円 $C$ の半径が最小になるときの $t$ の値と中心の座標を求めよ。 (3) 任意の $t$ に対して、円 $C$ がつねに通る点が2つある。その2点のうち、$y$ 座標が負となる点を点 $A$、もう1点を点 $B$ とする。点 $A, B$ の座標を求めよ。 (4) $t = 1$ のとき、円 $C$ の中心と点 $A$ を結ぶ直線が点 $A$ 以外で円 $C$ と交わる点を点 $P$ とする。点 $P$ と(3)の点 $A, B$ がなす三角形 $PAB$ の面積を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $t$ に対して、円 $C: x^2 + y^2 - 2(t-1)x + ty + 2t - 3 = 0$ が与えられている。$t$ の値が変化するとき、円 $C$ の中心はある直線上を移動し、円の大きさも変化する。以下の問いに答えよ。

(1) 円 $C$ の中心が通る直線の式を $y = ax + b$ の形で表したときの $a, b$ を求めよ。

(2) 円 $C$ の半径が最小になるときの $t$ の値と中心の座標を求めよ。

(3) 任意の $t$ に対して、円 $C$ がつねに通る点が2つある。その2点のうち、$y$ 座標が負となる点を点 $A$、もう1点を点 $B$ とする。点 $A, B$ の座標を求めよ。

(4) $t = 1$ のとき、円 $C$ の中心と点 $A$ を結ぶ直線が点 $A$ 以外で円 $C$ と交わる点を点 $P$ とする。点 $P$ と(3)の点 $A, B$ がなす三角形 $PAB$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C$ の方程式を平方完成する。

$x^2 - 2(t-1)x + y^2 + ty + 2t - 3 = 0$

$(x - (t-1))^2 - (t-1)^2 + (y + \frac{t}{2})^2 - (\frac{t}{2})^2 + 2t - 3 = 0$

$(x - (t-1))^2 + (y + \frac{t}{2})^2 = (t-1)^2 + (\frac{t}{2})^2 - 2t + 3$

$(x - (t-1))^2 + (y + \frac{t}{2})^2 = t^2 - 2t + 1 + \frac{t^2}{4} - 2t + 3$

$(x - (t-1))^2 + (y + \frac{t}{2})^2 = \frac{5}{4}t^2 - 4t + 4$

円の中心は $(t-1, -\frac{t}{2})$ である。

$x = t-1$ より $t = x+1$

$y = -\frac{t}{2} = -\frac{x+1}{2} = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

よって $a = -\frac{1}{2}, b = -\frac{1}{2}$

(2) 円の半径の2乗は $r^2 = \frac{5}{4}t^2 - 4t + 4 = \frac{5}{4}(t^2 - \frac{16}{5}t) + 4 = \frac{5}{4}((t - \frac{8}{5})^2 - (\frac{8}{5})^2) + 4 = \frac{5}{4}(t - \frac{8}{5})^2 - \frac{5}{4} \cdot \frac{64}{25} + 4 = \frac{5}{4}(t - \frac{8}{5})^2 - \frac{16}{5} + 4 = \frac{5}{4}(t - \frac{8}{5})^2 + \frac{4}{5}$

$t = \frac{8}{5}$ のとき、半径が最小となる。

中心の座標は $(t-1, -\frac{t}{2}) = (\frac{8}{5}-1, -\frac{8/5}{2}) = (\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$

(3) $x^2 + y^2 - 2(t-1)x + ty + 2t - 3 = 0$ を $t$ について整理すると

$x^2 + y^2 + 2x - 3 + t(-2x + y + 2) = 0$

これが任意の $t$ について成り立つので、

$x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0$ かつ $-2x + y + 2 = 0$

$y = 2x - 2$ を $x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0$ に代入して

$x^2 + (2x-2)^2 + 2x - 3 = 0$

$x^2 + 4x^2 - 8x + 4 + 2x - 3 = 0$

$5x^2 - 6x + 1 = 0$

$(5x - 1)(x - 1) = 0$

$x = 1$ または $x = \frac{1}{5}$

$x = 1$ のとき $y = 2(1) - 2 = 0$

$x = \frac{1}{5}$ のとき $y = 2(\frac{1}{5}) - 2 = \frac{2}{5} - \frac{10}{5} = -\frac{8}{5}$

よって $A(\frac{1}{5}, -\frac{8}{5}), B(1, 0)$

(4) $t = 1$ のとき、円 $C$ の方程式は

$(x - (1-1))^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4}(1)^2 - 4(1) + 4 = \frac{5}{4}$

$x^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4}$

中心は $(0, -\frac{1}{2})$

直線 $AP$ は点 $A(\frac{1}{5}, -\frac{8}{5})$ を通り、円の中心 $(0, -\frac{1}{2})$ も通る。

直線の傾きは $\frac{-\frac{1}{2} - (-\frac{8}{5})}{0 - \frac{1}{5}} = \frac{-\frac{5}{10} + \frac{16}{10}}{-\frac{1}{5}} = \frac{\frac{11}{10}}{-\frac{1}{5}} = -\frac{11}{2}$

直線の式は $y + \frac{1}{2} = -\frac{11}{2}x$

$y = -\frac{11}{2}x - \frac{1}{2}$

円の方程式 $x^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4}$ に代入して

$x^2 + (-\frac{11}{2}x)^2 = \frac{5}{4}$

$x^2 + \frac{121}{4}x^2 = \frac{5}{4}$

$\frac{125}{4}x^2 = \frac{5}{4}$

$x^2 = \frac{1}{25}$

$x = \pm \frac{1}{5}$

$x = \frac{1}{5}$ は点 $A$ の $x$ 座標なので、$x = -\frac{1}{5}$ が点 $P$ の $x$ 座標

$y = -\frac{11}{2}(-\frac{1}{5}) - \frac{1}{2} = \frac{11}{10} - \frac{5}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$P(-\frac{1}{5}, \frac{3}{5})$

$A(\frac{1}{5}, -\frac{8}{5}), B(1, 0)$

三角形 $PAB$ の面積は $S = \frac{1}{2} | (\frac{1}{5}(0 - \frac{3}{5}) + 1(\frac{3}{5} - (-\frac{8}{5})) + (-\frac{1}{5})(-\frac{8}{5} - 0) ) | = \frac{1}{2} | (-\frac{3}{25} + \frac{11}{5} + \frac{8}{25}) | = \frac{1}{2} | \frac{5}{25} + \frac{55}{25} | = \frac{1}{2} \cdot \frac{60}{25} = \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{5} = \frac{6}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{1}{2}, b = -\frac{1}{2}$

(2) $t = \frac{8}{5}$, 中心 $(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$

(3) $A(\frac{1}{5}, -\frac{8}{5}), B(1, 0)$

(4) $\frac{6}{5}$