$\triangle ABC$ において、$AB=4$, $AC=5$, $BC=6$ とし、外心を $O$ とする。$\overrightarrow{AO}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB=4$, $AC=5$, $BC=6$ とし、外心を $O$ とする。$\overrightarrow{AO}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 外心 $O$ は各辺の垂直二等分線の交点なので、$AB \perp MO$, $AC \perp NO$ が成り立つ ($M$, $N$ はそれぞれ辺 $AB$, $AC$ の中点)。

(2) $\overrightarrow{AO} = s \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC}$ （$s$, $t$ は実数）とおくと、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MO} = 0$, $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{NO} = 0$ が成り立つ。

(3) $\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AM} = s \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = (s-\frac{1}{2}) \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC}$ より、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MO} = 0$ から、$\overrightarrow{AB} \cdot ((s-\frac{1}{2}) \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC}) = 0$。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}|^2 = 4^2 = 16$ より、$(s-\frac{1}{2})|\overrightarrow{AB}|^2 + t \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$。

$16(s-\frac{1}{2}) + t \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \qquad (1)$。

(4) $\overrightarrow{NO} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AN} = s \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} = s \overrightarrow{AB} + (t-\frac{1}{2}) \overrightarrow{AC}$ より、$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{NO} = 0$ から、$\overrightarrow{AC} \cdot (s \overrightarrow{AB} + (t-\frac{1}{2}) \overrightarrow{AC}) = 0$。

$s \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + (t-\frac{1}{2}) |\overrightarrow{AC}|^2 = 0$。

$|\overrightarrow{AC}|^2 = 5^2 = 25$ より、$s \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + 25 (t-\frac{1}{2}) = 0 \qquad (2)$。

(5) $|\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 - 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + |\overrightarrow{AB}|^2$ より、$6^2 = 5^2 - 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + 4^2$。

$36 = 25 - 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + 16$ より、$2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 25 + 16 - 36 = 5$。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{5}{2}$。

(6) (1) より、$16(s - \frac{1}{2}) + t \frac{5}{2} = 0$ より、$16s - 8 + \frac{5}{2} t = 0$。

$32s + 5t = 16 \qquad (3)$。

(7) (2) より、$s \frac{5}{2} + 25(t-\frac{1}{2}) = 0$ より、$\frac{5}{2} s + 25t - \frac{25}{2} = 0$。

$5s + 50t = 25$ より、$s + 10t = 5 \qquad (4)$。

(8) (3) より、$32s + 5t = 16$。 (4) より、$s = 5 - 10t$ なので、$32(5-10t) + 5t = 16$。

$160 - 320t + 5t = 16$。 $315t = 144$。 $t = \frac{144}{315} = \frac{16}{35}$。

$s = 5 - 10 \cdot \frac{16}{35} = 5 - \frac{32}{7} = \frac{35-32}{7} = \frac{3}{7}$。

(9) したがって、$\overrightarrow{AO} = \frac{3}{7} \overrightarrow{AB} + \frac{16}{35} \overrightarrow{AC}$。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AO} = \frac{3}{7} \overrightarrow{AB} + \frac{16}{35} \overrightarrow{AC}$