半径 $a$ の円に内接する二等辺三角形がある。その高さを $x$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) 二等辺三角形の面積 $S$ を $x$ の式で表し、また、$x$ の変域を求める。 (2) $S$ が最大になるときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

半径 $a$ の円に内接する二等辺三角形がある。その高さを $x$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) 二等辺三角形の面積 $S$ を $x$ の式で表し、また、$x$ の変域を求める。

(2) $S$ が最大になるときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、二等辺三角形の底辺の半分の長さを $b$ とする。円の中心から底辺までの距離は、$x - a$ である。

三平方の定理より、$b^2 + (x-a)^2 = a^2$ が成り立つ。

よって、$b^2 = a^2 - (x-a)^2 = a^2 - (x^2 - 2ax + a^2) = 2ax - x^2$

したがって、$b = \sqrt{2ax - x^2}$

二等辺三角形の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2} \times 2b \times x = bx = x\sqrt{2ax - x^2} = \sqrt{2ax^3 - x^4}$

よって、$S = x\sqrt{2ax - x^2}$

次に、$x$ の変域を求める。

$x$ は二等辺三角形の高さなので、$0 < x \le 2a$

ただし、$x = 0$ のときは三角形が成立しないため、$0 < x$

また、$x$ が $2a$ を超えることはない。

したがって、$x$ の変域は、$0 < x \le 2a$

(2)

$S^2 = x^2(2ax - x^2) = 2ax^3 - x^4$

$S^2$ を $x$ で微分すると、

$\frac{d(S^2)}{dx} = 6ax^2 - 4x^3 = 2x^2(3a - 2x)$

$S$ が最大となるとき、$\frac{d(S^2)}{dx} = 0$ となるので、

$2x^2(3a - 2x) = 0$

$x = 0$ または $3a - 2x = 0$

$x = 0$ は変域に含まれないので、$3a - 2x = 0$ より $x = \frac{3a}{2}$

$x = \frac{3a}{2}$ は $0 < x \le 2a$ を満たす。

$x < \frac{3a}{2}$ のとき、$\frac{d(S^2)}{dx} > 0$

$x > \frac{3a}{2}$ のとき、$\frac{d(S^2)}{dx} < 0$

よって、$x = \frac{3a}{2}$ のとき、$S^2$ は最大となる。

したがって、$S$ が最大になるのは、$x = \frac{3a}{2}$ のときである。

3. 最終的な答え

(1) $S = x\sqrt{2ax - x^2}$、 $0 < x \le 2a$

(2) $x = \frac{3a}{2}$