平面上に $n$ 本の直線があり、どの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないとき、これらの直線によって平面が $a_n$ 個の部分に分けられるとする。 (1) $a_1$, $a_2$, $a_3$ を求めよ。 (2) $n$ 本の直線が引いてあり、新たに $(n+1)$ 本目の直線を引いたとき、もとの $n$ 本の直線と何箇所で交わるか。 (3) (2)を利用して、$a_{n+1}$ を $a_n$ で表せ。 (4) $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

平面上に $n$ 本の直線があり、どの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないとき、これらの直線によって平面が $a_n$ 個の部分に分けられるとする。

(1) $a_1$, $a_2$, $a_3$ を求めよ。

(2) $n$ 本の直線が引いてあり、新たに $(n+1)$ 本目の直線を引いたとき、もとの $n$ 本の直線と何箇所で交わるか。

(3) (2)を利用して、$a_{n+1}$ を $a_n$ で表せ。

(4) $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$n=1$ のとき、直線は1本なので、平面は2つの部分に分けられる。よって、$a_1 = 2$.

$n=2$ のとき、直線は2本なので、平面は4つの部分に分けられる。よって、$a_2 = 4$.

$n=3$ のとき、直線は3本なので、平面は7つの部分に分けられる。よって、$a_3 = 7$.

(2)

$(n+1)$ 本目の直線は、すでに引かれている $n$ 本の直線と交わる。どの2本も平行ではなく、どの3本も1点で交わらないので、$(n+1)$ 本目の直線は $n$ 本の直線それぞれと異なる点で交わる。したがって、$n$ 箇所で交わる。

(3)

$(n+1)$ 本目の直線は、$n$ 本の直線と $n$ 箇所で交わるので、$(n+1)$ 本目の直線は平面を $(n+1)$ 個の部分に分割する。

したがって、$a_{n+1} = a_n + (n+1)$

(4)

$a_{n+1} = a_n + (n+1)$ より、

$a_{n+1} - a_n = n+1$

$n \geq 1$ に対して、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+1) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 + \frac{(n-1)n}{2} + (n-1)$

$= 2 + \frac{n^2-n}{2} + n - 1 = 1 + \frac{n^2+n}{2} = \frac{n^2+n+2}{2}$

これは、$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1+1+2}{2} = 2$ となり、成立する。

したがって、$a_n = \frac{n^2+n+2}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 2$, $a_2 = 4$, $a_3 = 7$

(2) $n$ 箇所

(3) $a_{n+1} = a_n + (n+1)$

(4) $a_n = \frac{n^2+n+2}{2}$