座標空間内の2点 $P(-2, -5, 6)$、$Q(5, 6, 1)$ を通る直線を $l$ とする。 (1) 直線 $l$ の式を、パラメータ $t$ を用いた媒介変数表示で示せ。 (2) 直線 $l$ に平行で、原点を通る直線の式を標準形で示せ。

1. 問題の内容

座標空間内の2点 $P(-2, -5, 6)$、$Q(5, 6, 1)$ を通る直線を $l$ とする。

(1) 直線 $l$ の式を、パラメータ $t$ を用いた媒介変数表示で示せ。

(2) 直線 $l$ に平行で、原点を通る直線の式を標準形で示せ。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $l$ の方向ベクトル $\vec{d}$ は、$\vec{PQ}$ で与えられます。

$\vec{d} = \vec{PQ} = (5 - (-2), 6 - (-5), 1 - 6) = (7, 11, -5)$

直線 $l$ は点 $P(-2, -5, 6)$ を通り、方向ベクトル $\vec{d} = (7, 11, -5)$ を持つので、媒介変数表示は次のようになります。

$x = -2 + 7t$

$y = -5 + 11t$

$z = 6 - 5t$

(2)

直線 $l$ に平行で原点を通る直線は、方向ベクトルが $\vec{d} = (7, 11, -5)$ であり、点 $(0, 0, 0)$ を通る直線です。

標準形（対称形）で表すと、

$\frac{x}{7} = \frac{y}{11} = \frac{z}{-5}$

3. 最終的な答え

(1) 媒介変数表示：

$x = -2 + 7t$

$y = -5 + 11t$

$z = 6 - 5t$

(2) 標準形：

$\frac{x}{7} = \frac{y}{11} = \frac{z}{-5}$