(1) 原点O(0,0)、点A(4,1)、点B(5,-1)、点C(-3,4)がある。点Pの位置ベクトル$\vec{OP}$が$\vec{OP} = \vec{OC} + t\vec{BA}$（$t$は実数）で表されるとき、3点O, A, Pが同一直線上にあるような実数$t$の値を求める。 (2) $|\vec{p}| = |\vec{q}| = |\sqrt{3}\vec{p} + \vec{q}|$のとき、$\vec{p}$と$\vec{q}$のなす角$\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$)を求める。

1. 問題の内容

(1) 原点O(0,0)、点A(4,1)、点B(5,-1)、点C(-3,4)がある。点Pの位置ベクトル$\vec{OP}$が$\vec{OP} = \vec{OC} + t\vec{BA}$（$t$は実数）で表されるとき、3点O, A, Pが同一直線上にあるような実数$t$の値を求める。

(2) $|\vec{p}| = |\vec{q}| = |\sqrt{3}\vec{p} + \vec{q}|$のとき、$\vec{p}$と$\vec{q}$のなす角$\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$)を求める。

2. 解き方の手順

(1)

O, A, Pが同一直線上にあるとき、$\vec{OP} = k\vec{OA}$となる実数$k$が存在する。

$\vec{OA} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{OC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\vec{OP} = \vec{OC} + t\vec{BA} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3-t \\ 4+2t \end{pmatrix}$

$\vec{OP} = k\vec{OA}$より、$\begin{pmatrix} -3-t \\ 4+2t \end{pmatrix} = k\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4k \\ k \end{pmatrix}$

$-3-t = 4k$

$4+2t = k$

これを解く。$k = 4+2t$を$-3-t = 4k$に代入すると、

$-3-t = 4(4+2t)$

$-3-t = 16+8t$

$-19 = 9t$

$t = -\frac{19}{9}$

(2)

$|\vec{p}| = |\vec{q}|$より、$|\vec{p}|^2 = |\vec{q}|^2$

$|\vec{q}|^2 = |\sqrt{3}\vec{p} + \vec{q}|^2$

$|\vec{q}|^2 = (\sqrt{3}\vec{p} + \vec{q}) \cdot (\sqrt{3}\vec{p} + \vec{q}) = 3|\vec{p}|^2 + 2\sqrt{3}\vec{p} \cdot \vec{q} + |\vec{q}|^2$

$0 = 3|\vec{p}|^2 + 2\sqrt{3}\vec{p} \cdot \vec{q}$

$-3|\vec{p}|^2 = 2\sqrt{3}\vec{p} \cdot \vec{q}$

$\vec{p} \cdot \vec{q} = -\frac{3}{2\sqrt{3}}|\vec{p}|^2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}|\vec{p}|^2$

$\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{p}||\vec{q}|\cos\theta = |\vec{p}|^2\cos\theta$

$|\vec{p}|^2\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}|\vec{p}|^2$

$\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le \theta \le \pi$より、$\theta = \frac{5}{6}\pi$

3. 最終的な答え

(1) $t = -\frac{19}{9}$

(2) $\theta = \frac{5}{6}\pi$