円 $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 2$ と直線 $y = ax + 5$ が異なる2点で交わるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

円 $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 2$ と直線 $y = ax + 5$ が異なる2点で交わるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

円と直線が異なる2点で交わる条件は、円の中心と直線の距離 $d$ が円の半径 $r$ より小さいことです。

まず、円の中心と半径を求めます。

円の方程式 $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 2$ から、中心は $(-2, 3)$、半径は $r = \sqrt{2}$ となります。

次に、円の中心 $(-2, 3)$ と直線 $y = ax + 5$ の距離 $d$ を求めます。

直線の式を $ax - y + 5 = 0$ と変形します。

点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|a(-2) - 3 + 5|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2a + 2|}{\sqrt{a^2 + 1}}$

円と直線が異なる2点で交わるためには、$d < r$ である必要があります。

つまり、$\frac{|-2a + 2|}{\sqrt{a^2 + 1}} < \sqrt{2}$

両辺を2乗して、

$\frac{(-2a + 2)^2}{a^2 + 1} < 2$

$(-2a + 2)^2 < 2(a^2 + 1)$

$4a^2 - 8a + 4 < 2a^2 + 2$

$2a^2 - 8a + 2 < 0$

$a^2 - 4a + 1 < 0$

この不等式を解くために、$a^2 - 4a + 1 = 0$ の解を求めます。

解の公式より、

$a = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

したがって、$a^2 - 4a + 1 < 0$ の解は、$2 - \sqrt{3} < a < 2 + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2 - \sqrt{3} < a < 2 + \sqrt{3}$