(1) $x$ 軸上の点 $(\frac{6-4\sqrt{3}}{3}, 0)$ から円 $(x-2)^2 + y^2 = 4$ への接線を求める。接線の方程式と接点の座標を求める。 (2) 円 $x^2 + y^2 = 1$ と円 $(x-2)^2 + y^2 = 4$ に共通に接する接線の方程式を求める。円弧APCと円弧BQDおよび線分ABと線分CDとで囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

(1) $x$ 軸上の点 $(\frac{6-4\sqrt{3}}{3}, 0)$ から円 $(x-2)^2 + y^2 = 4$ への接線を求める。接線の方程式と接点の座標を求める。

(2) 円 $x^2 + y^2 = 1$ と円 $(x-2)^2 + y^2 = 4$ に共通に接する接線の方程式を求める。円弧APCと円弧BQDおよび線分ABと線分CDとで囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点 $(\frac{6-4\sqrt{3}}{3}, 0)$ を通る直線の式を $y = m(x - \frac{6-4\sqrt{3}}{3})$ とおく。

この直線が円 $(x-2)^2 + y^2 = 4$ に接するので、円の中心 $(2, 0)$ と直線の距離が半径 $2$ に等しい。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|m(2 - \frac{6-4\sqrt{3}}{3})|}{\sqrt{m^2+1}} = 2$

$\frac{|m(\frac{6+4\sqrt{3}}{3} -2)|}{\sqrt{m^2+1}} = 2$

$\frac{|m(\frac{4\sqrt{3}}{3})|}{\sqrt{m^2+1}} = 2$

$(\frac{4\sqrt{3}}{3}m)^2 = 4(m^2+1)$

$\frac{16 \cdot 3}{9} m^2 = 4m^2 + 4$

$\frac{16}{3}m^2 = 4m^2 + 4$

$16m^2 = 12m^2 + 12$

$4m^2 = 12$

$m^2 = 3$

$m = \pm \sqrt{3}$

よって、接線の方程式は $y = \pm \sqrt{3}(x - \frac{6-4\sqrt{3}}{3})$

$y = \pm \sqrt{3}(x - 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3})$

接点を $(x_1, y_1)$ とおく。円 $(x-2)^2 + y^2 = 4$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $(x_1-2)(x-2) + y_1y = 4$

この接線が点 $(\frac{6-4\sqrt{3}}{3}, 0)$ を通るので、

$(x_1-2)(\frac{6-4\sqrt{3}}{3} - 2) + y_1(0) = 4$

$(x_1-2)(\frac{-4\sqrt{3}}{3}) = 4$

$x_1 - 2 = -\sqrt{3}$

$x_1 = 2 - \sqrt{3}$

$(x_1-2)^2 + y_1^2 = 4$

$(-\sqrt{3})^2 + y_1^2 = 4$

$3 + y_1^2 = 4$

$y_1^2 = 1$

$y_1 = \pm 1$

よって、接点の座標は $(2-\sqrt{3}, \pm 1)$

(2)

2つの円に共通に接する接線を $y = mx + n$ とおく。

円 $x^2+y^2=1$ に接するので、原点と接線の距離が1。

$\frac{|n|}{\sqrt{m^2+1}} = 1$

$n^2 = m^2+1$

円 $(x-2)^2+y^2 = 4$ に接するので、$(2,0)$ と接線の距離が2。

$\frac{|2m+n|}{\sqrt{m^2+1}} = 2$

$(2m+n)^2 = 4(m^2+1)$

$4m^2+4mn+n^2 = 4m^2+4$

$4mn + (m^2+1) = 4$

$4mn = 3-m^2$

$16m^2n^2 = (3-m^2)^2$

$16m^2(m^2+1) = 9-6m^2+m^4$

$16m^4+16m^2 = 9-6m^2+m^4$

$15m^4+22m^2-9 = 0$

$(3m^2-1)(5m^2+9) = 0$

$m^2 = \frac{1}{3}$

$m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$n^2 = m^2+1 = \frac{1}{3}+1 = \frac{4}{3}$

$n = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$4mn = 3 - m^2 = 3-\frac{1}{3} = \frac{8}{3}$

$mn = \frac{2}{3}$

$m, n$ は同符号。

よって、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x + \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} (x+2)$

円弧APCと円弧BQDおよび線分ABと線分CDとで囲まれた部分の面積は、

相似比は $1:2$ なので、ABの長さは $AB = \sqrt{3}$ 。接線の傾きは $\frac{\sqrt{3}}{3}$ なので、角は30度。

面積は $(\pi/6) 2^2 - (\pi/6) 1^2 = \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

台形の面積は $\frac{1}{2} (\sqrt{3}+2\sqrt{3}) 1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

面積は $\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

接線の方程式は $y = \pm \sqrt{3}(x - 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3})$

接点の座標は $(2-\sqrt{3}, \pm 1)$

(2)

共通接線の方程式は $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} (x+2)$

線分ABの長さは $\sqrt{3}$

面積は $\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{2}$