問題は、直角三角形ABCと直角三角形DEFを辺BCとEFが一致するように重ねてできる図形Kについて、以下の2つの問いに答えるものです。 問1：線分AGの長さを求める。 問2：図形Kの面積を求める。

1. 問題の内容

問題は、直角三角形ABCと直角三角形DEFを辺BCとEFが一致するように重ねてできる図形Kについて、以下の2つの問いに答えるものです。

問1：線分AGの長さを求める。

問2：図形Kの面積を求める。

2. 解き方の手順

**問1: 線分AGの長さを求める**

三角形ABCと三角形DEFは相似な直角三角形です(AB:BC = 4:3、DF:EF = 6:3 = 2:1であり、辺の比が異なるため相似ではありません)。

$\angle ABC = \angle DEF = 90^\circ$です。

BCとEFが重なっているので、BC=EF=3です。

AB=4, DF=6です。

図形Kにおいて、ACとBDの交点をGとします。

GからBCに垂線を下ろし、その交点をHとします。

$\triangle ABC \sim \triangle GHC$ より、$\frac{GH}{AB} = \frac{CH}{AC}$が成り立ちます。

また、$\triangle DEF \sim \triangle BHG$　は成立しません。なぜならBC=EF=3だからです。

$\triangle ABC$において三平方の定理より、$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

ここで、座標を設定して問題を解きます。B(0,0), C(3,0), A(0,4), D(3,6)となります。

ACの直線の方程式は$y = -\frac{4}{3}x + 4$

BDの直線の方程式は$y = 2x$

連立させてGの座標を求めます。$-\frac{4}{3}x + 4 = 2x$

$4 = \frac{10}{3}x$

$x = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

$y = 2(\frac{6}{5}) = \frac{12}{5}$

Gの座標は $(\frac{6}{5}, \frac{12}{5})$

$AG = \sqrt{(\frac{6}{5} - 0)^2 + (\frac{12}{5} - 4)^2} = \sqrt{(\frac{6}{5})^2 + (-\frac{8}{5})^2} = \sqrt{\frac{36}{25} + \frac{64}{25}} = \sqrt{\frac{100}{25}} = \sqrt{4} = 2$

**問2: 図形Kの面積を求める**

図形Kの面積は、三角形ABCの面積と三角形DEFの面積の和です。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$

$\triangle DEF = \frac{1}{2} \times EF \times DF = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9$

図形Kの面積は、$6 + 9 = 15$

3. 最終的な答え

問1：b 2

問2：e 12