三角形OABにおいて、$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$と定義される。実数$s, t$が与えられた条件を満たすとき、点Pの存在する範囲を求める。問題は2つあり、それぞれ以下の条件を満たす： (1) $0 \le t \le 1, s = 1$ (2) $-1 \le s \le 1, t = 1$ それぞれの問題に対して、与えられた選択肢から正しいものを選択する。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$と定義される。実数$s, t$が与えられた条件を満たすとき、点Pの存在する範囲を求める。問題は2つあり、それぞれ以下の条件を満たす：

(1) $0 \le t \le 1, s = 1$

(2) $-1 \le s \le 1, t = 1$

それぞれの問題に対して、与えられた選択肢から正しいものを選択する。

2. 解き方の手順

(1) $s=1$なので、$\vec{OP} = \vec{OA} + t\vec{OB}$となる。$0 \le t \le 1$より、$\vec{OP} = \vec{OA} + t\vec{OB}$は、点Aから、ベクトル$\vec{OB}$の$t$倍($0 \le t \le 1$)だけ進んだ位置にある。$t$が0から1まで変化するので、点Pは点Aから点Bへ向かう線分AC上にあることがわかる。ただし、点Cは$\vec{OB} = \vec{AC}$を満たす点である。よって答えは選択肢①。

(2) $t=1$なので、$\vec{OP} = s\vec{OA} + \vec{OB}$となる。$-1 \le s \le 1$より、$\vec{OP} = s\vec{OA} + \vec{OB}$は、点Bから、ベクトル$\vec{OA}$の$s$倍($-1 \le s \le 1$)だけ進んだ位置にある。$s$が-1から1まで変化するので、点Pは点Bからベクトル$\vec{OA}$の-1倍だけ進んだ点と、ベクトル$\vec{OA}$の1倍だけ進んだ点の間の線分上にある。点Cは$\vec{OA} = \vec{CB}$を満たす点であり、点Dは$\vec{OA} = \vec{BD}$を満たす点である。したがって、点Pは線分CD上にある。ただし、点C, Dは$\vec{OA}=\vec{CB}$と$\vec{OA}=\vec{DB}$を満たす点である。

また、$\vec{DA} = -\vec{AD} = \vec{OA}-\vec{OD}=\vec{OA}-(\vec{OB}+\vec{OA}) = -\vec{OB}$,

$\vec{OB}=-\vec{DA}$となるので、$\vec{OB}=\vec{AD}$と$\vec{OA}=\vec{DB}$より$\vec{AC}=\vec{DA}$が成立する。よって答えは選択肢②。

3. 最終的な答え

(1) ①

(2) ②