直線 $l$ が関数 $y = \frac{1}{4}x^2$ のグラフと2点A, Bで交わっており、点A, Bの $x$ 座標がそれぞれ -6, 2 である。点Oは原点とする。 (i) 点Aの $y$ 座標を求める。 (ii) 直線 $l$ の式を求める。 (iii) 原点Oを通り、$\triangle OAB$ の面積を二等分する直線と直線 $l$ との交点をCとするとき、点Cの座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $l$ が関数 $y = \frac{1}{4}x^2$ のグラフと2点A, Bで交わっており、点A, Bの $x$ 座標がそれぞれ -6, 2 である。点Oは原点とする。

(i) 点Aの $y$ 座標を求める。

(ii) 直線 $l$ の式を求める。

(iii) 原点Oを通り、$\triangle OAB$ の面積を二等分する直線と直線 $l$ との交点をCとするとき、点Cの座標を求める。

2. 解き方の手順

(i) 点Aの $x$ 座標は -6 であり、点Aは $y = \frac{1}{4}x^2$ 上の点であるので、

$y = \frac{1}{4} \times (-6)^2 = \frac{1}{4} \times 36 = 9$

したがって、点Aの $y$ 座標は 9 である。

(ii) 点Aの座標は (-6, 9) であり、点Bの $x$ 座標は 2 であり、点Bは $y = \frac{1}{4}x^2$ 上の点であるので、

$y = \frac{1}{4} \times (2)^2 = \frac{1}{4} \times 4 = 1$

したがって、点Bの座標は (2, 1) である。

直線 $l$ は2点 A(-6, 9) と B(2, 1) を通るので、傾きは

$\frac{1 - 9}{2 - (-6)} = \frac{-8}{8} = -1$

よって、直線 $l$ の式は $y = -x + b$ と表せる。

点B(2, 1) を通ることから、 $1 = -2 + b$ より $b = 3$ となる。

したがって、直線 $l$ の式は $y = -x + 3$ である。

(iii) $\triangle OAB$ の面積を二等分する直線は、線分 AB の中点を通る。

線分 AB の中点 M の座標は

$M(\frac{-6 + 2}{2}, \frac{9 + 1}{2}) = M(\frac{-4}{2}, \frac{10}{2}) = M(-2, 5)$

原点Oを通り点Mを通る直線の式を $y = ax$ とすると、点M(-2, 5) を通るので

$5 = -2a$ より $a = -\frac{5}{2}$

したがって、原点Oを通り $\triangle OAB$ の面積を二等分する直線の式は $y = -\frac{5}{2}x$ である。

点Cは、直線 $l$ と $y = -\frac{5}{2}x$ の交点であるから、

$-x + 3 = -\frac{5}{2}x$

$-\frac{2}{2}x + \frac{5}{2}x = -3$

$\frac{3}{2}x = -3$

$x = -3 \times \frac{2}{3} = -2$

$y = -\frac{5}{2} \times (-2) = 5$

したがって、点Cの座標は (-2, 5) である。

3. 最終的な答え

(i) 点Aの $y$ 座標は 9

(ii) 直線 $l$ の式は $y = -x + 3$

(iii) 点Cの座標は (-2, 5)