(1) 一辺の長さが10cmの正方形を底面とし、高さが12cm、斜辺の長さが13cmの正四角錐の表面積と体積を求めます。 (2) 底辺の長さが7cm、高さが24cm、斜辺の長さが25cmの直角三角形を、高さが24cmの直線を軸として回転させたときにできる立体の体積を求めます。

1. 問題の内容

(1) 一辺の長さが10cmの正方形を底面とし、高さが12cm、斜辺の長さが13cmの正四角錐の表面積と体積を求めます。

(2) 底辺の長さが7cm、高さが24cm、斜辺の長さが25cmの直角三角形を、高さが24cmの直線を軸として回転させたときにできる立体の体積を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、正四角錐の表面積を計算します。底面積は正方形なので、$10 \times 10 = 100$ 平方cmです。

側面の三角形は4つあり、それぞれの面積は$\frac{1}{2} \times 10 \times 13 = 65$ 平方cmです。したがって、側面積は $65 \times 4 = 260$ 平方cmです。

表面積は、底面積と側面積の和なので、$100 + 260 = 360$ 平方cmとなります。

次に、正四角錐の体積を計算します。体積は $\frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$ で求められます。底面積は $10 \times 10 = 100$ 平方cm、高さは12cmなので、体積は $\frac{1}{3} \times 100 \times 12 = 400$ 立方cmとなります。

(2)

直角三角形を回転させたときにできる立体は、底面の半径が7cm、高さが24cmの円錐です。

円錐の体積は $\frac{1}{3} \times \pi \times \text{半径}^2 \times \text{高さ}$ で求められます。

半径は7cm、高さは24cmなので、体積は $\frac{1}{3} \times \pi \times 7^2 \times 24 = \frac{1}{3} \times \pi \times 49 \times 24 = 392\pi$ 立方cmとなります。

3. 最終的な答え

(1) 表面積: 360 平方cm

体積: 400 立方cm

(2) 体積: $392\pi$ 立方cm