問題14：2点A(1, -1) とB(4, 3) を結ぶ線分ABについて、以下の点の座標を求めます。 (1) 2:1に内分する点 (2) 2:1に外分する点 (3) 3:2に外分する点 (4) 中点 問題15：以下の条件を満たす直線の方程式を求めます。 (1) 点(2, 7)を通り、傾きが3の直線 (2) 2点(-2, 5) と(4, -3)を通る直線 (3) 2点(6, 5) と(6, -2)を通る直線 (4) 点(-1, 3)を通り、直線 $2x + 3y + 1 = 0$ に垂直な直線、および平行な直線

1. 問題の内容

問題14：2点A(1, -1) とB(4, 3) を結ぶ線分ABについて、以下の点の座標を求めます。

(1) 2:1に内分する点

(2) 2:1に外分する点

(3) 3:2に外分する点

(4) 中点

問題15：以下の条件を満たす直線の方程式を求めます。

(1) 点(2, 7)を通り、傾きが3の直線

(2) 2点(-2, 5) と(4, -3)を通る直線

(3) 2点(6, 5) と(6, -2)を通る直線

(4) 点(-1, 3)を通り、直線 $2x + 3y + 1 = 0$ に垂直な直線、および平行な直線

2. 解き方の手順

問題14：

(1) 2:1に内分する点

内分点の公式：$P = \frac{mB + nA}{m + n}$

$P = \frac{2(4, 3) + 1(1, -1)}{2 + 1} = \frac{(8, 6) + (1, -1)}{3} = \frac{(9, 5)}{3} = (3, \frac{5}{3})$

(2) 2:1に外分する点

外分点の公式：$P = \frac{mB - nA}{m - n}$

$P = \frac{2(4, 3) - 1(1, -1)}{2 - 1} = \frac{(8, 6) - (1, -1)}{1} = (7, 7)$

(3) 3:2に外分する点

外分点の公式：$P = \frac{mB - nA}{m - n}$

$P = \frac{3(4, 3) - 2(1, -1)}{3 - 2} = \frac{(12, 9) - (2, -2)}{1} = (10, 11)$

(4) 中点

中点の公式：$M = \frac{A + B}{2}$

$M = \frac{(1, -1) + (4, 3)}{2} = \frac{(5, 2)}{2} = (\frac{5}{2}, 1)$

問題15：

(1) 点(2, 7)を通り、傾きが3の直線

直線の式：$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - 7 = 3(x - 2)$

$y - 7 = 3x - 6$

$y = 3x + 1$

(2) 2点(-2, 5) と(4, -3)を通る直線

傾き：$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - 5}{4 - (-2)} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

直線の式：$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - 5 = -\frac{4}{3}(x - (-2))$

$y - 5 = -\frac{4}{3}(x + 2)$

$3(y - 5) = -4(x + 2)$

$3y - 15 = -4x - 8$

$4x + 3y - 7 = 0$

(3) 2点(6, 5) と(6, -2)を通る直線

$x$座標が同じなので、これは$x = 6$ という縦線です。

(4) 点(-1, 3)を通り、直線 $2x + 3y + 1 = 0$ に垂直な直線、および平行な直線

与えられた直線の式を書き換えます：$3y = -2x - 1$, $y = -\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$. 傾きは$m_1 = -\frac{2}{3}$です。

平行な直線の傾きは同じです。従って、$m_{parallel} = -\frac{2}{3}$。

平行な直線の方程式：$y - 3 = -\frac{2}{3}(x + 1)$

$3(y - 3) = -2(x + 1)$

$3y - 9 = -2x - 2$

$2x + 3y - 7 = 0$

垂直な直線の傾きは$m_{perpendicular} = \frac{3}{2}$です。

垂直な直線の方程式：$y - 3 = \frac{3}{2}(x + 1)$

$2(y - 3) = 3(x + 1)$

$2y - 6 = 3x + 3$

$3x - 2y + 9 = 0$

3. 最終的な答え

問題14：

(1) (3, 5/3)

(2) (7, 7)

(3) (10, 11)

(4) (5/2, 1)

問題15：

(1) $y = 3x + 1$

(2) $4x + 3y - 7 = 0$

(3) $x = 6$

(4) 平行な直線：$2x + 3y - 7 = 0$, 垂直な直線：$3x - 2y + 9 = 0$