座標平面上の曲線$C_1$は媒介変数$t$を用いて、$x = \frac{2}{t}$、$y = \frac{t-1}{t^2}$と表される。また、曲線$C_2$は極方程式$r = 5\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$で表される。 (1) $t$を消去して、曲線$C_1$を$x$と$y$を用いて表す。 (2) 曲線$C_2$を直交座標に関する方程式で表す。 (3) 原点をO, 曲線$C_1$と$x$軸との交点のうちOでない方をA、曲線$C_2$の中心をBとするとき、三角形OABの面積を求める。

1. 問題の内容

座標平面上の曲線$C_1$は媒介変数$t$を用いて、$x = \frac{2}{t}$、$y = \frac{t-1}{t^2}$と表される。また、曲線$C_2$は極方程式$r = 5\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$で表される。

(1) $t$を消去して、曲線$C_1$を$x$と$y$を用いて表す。

(2) 曲線$C_2$を直交座標に関する方程式で表す。

(3) 原点をO, 曲線$C_1$と$x$軸との交点のうちOでない方をA、曲線$C_2$の中心をBとするとき、三角形OABの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$x = \frac{2}{t}$ より、$t = \frac{2}{x}$である。これを$y = \frac{t-1}{t^2}$に代入すると、

$y = \frac{\frac{2}{x} - 1}{(\frac{2}{x})^2} = \frac{\frac{2-x}{x}}{\frac{4}{x^2}} = \frac{(2-x)x^2}{4x} = \frac{(2-x)x}{4} = \frac{2x - x^2}{4} = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x^2$

したがって、$y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x$

(2) $r = 5\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = 5(\sin\theta \cos\frac{\pi}{3} + \cos\theta \sin\frac{\pi}{3}) = 5(\sin\theta \cdot \frac{1}{2} + \cos\theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

したがって、$r = \frac{5}{2}\sin\theta + \frac{5\sqrt{3}}{2}\cos\theta$

両辺に$r$をかけると、$r^2 = \frac{5}{2}r\sin\theta + \frac{5\sqrt{3}}{2}r\cos\theta$

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $x^2+y^2 = r^2$を代入すると、$x^2+y^2 = \frac{5}{2}y + \frac{5\sqrt{3}}{2}x$

$x^2 - \frac{5\sqrt{3}}{2}x + y^2 - \frac{5}{2}y = 0$

$(x - \frac{5\sqrt{3}}{4})^2 + (y - \frac{5}{4})^2 = (\frac{5\sqrt{3}}{4})^2 + (\frac{5}{4})^2 = \frac{25\cdot 3}{16} + \frac{25}{16} = \frac{75+25}{16} = \frac{100}{16} = \frac{25}{4}$

$x^2 + y^2 = \frac{5}{2}y + \frac{5\sqrt{3}}{2}x$を整理すると、$x^2 + y^2 = \frac{5}{2}(\sqrt{3}x + y)$

(3) $C_1$と$x$軸との交点では、$y = 0$より、$-\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x = 0$

$x(-\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}) = 0$なので、$x = 0$または$x = 2$。したがって、Aの座標は$(2, 0)$

$C_2$の中心Bは、$(x - \frac{5\sqrt{3}}{4})^2 + (y - \frac{5}{4})^2 = \frac{25}{4}$より、$B(\frac{5\sqrt{3}}{4}, \frac{5}{4})$

$OA = 2$。BからOAに下ろした垂線の長さは、$\frac{5}{4}$。

$\triangle OAB$の面積は、$\frac{1}{2} \times 2 \times \frac{5}{4} = \frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x$

(2) $x^2 + y^2 = \frac{5}{2}(\sqrt{3}x + y)$

(3) $\frac{5}{4}$