放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ と直線 $l$ が 2 点 A, B で交わっている。A, B の $x$ 座標はそれぞれ -6, 2 である。 (i) 点 A の $y$ 座標を求める。 (ii) 直線 $l$ の式を求める。 (iii) 原点 O を通り、三角形 OAB の面積を二等分する直線と直線 $l$ との交点を C とするとき、点 C の座標を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ と直線 $l$ が 2 点 A, B で交わっている。A, B の $x$ 座標はそれぞれ -6, 2 である。

(i) 点 A の $y$ 座標を求める。

(ii) 直線 $l$ の式を求める。

(iii) 原点 O を通り、三角形 OAB の面積を二等分する直線と直線 $l$ との交点を C とするとき、点 C の座標を求める。

2. 解き方の手順

(i) 点 A の $x$ 座標が -6 なので、$y = \frac{1}{4}x^2$ に $x = -6$ を代入して $y$ 座標を求める。

$y = \frac{1}{4}(-6)^2 = \frac{1}{4} \times 36 = 9$

したがって、点 A の座標は (-6, 9) である。

(ii) 点 B の $x$ 座標が 2 なので、$y = \frac{1}{4}x^2$ に $x = 2$ を代入して $y$ 座標を求める。

$y = \frac{1}{4}(2)^2 = \frac{1}{4} \times 4 = 1$

したがって、点 B の座標は (2, 1) である。

直線 $l$ は点 A (-6, 9) と点 B (2, 1) を通るので、直線の傾きは

$\frac{1 - 9}{2 - (-6)} = \frac{-8}{8} = -1$

直線 $l$ の式を $y = -x + b$ とおき、点 B (2, 1) を代入すると

$1 = -2 + b$ より $b = 3$

したがって、直線 $l$ の式は $y = -x + 3$ である。

(iii) 三角形 OAB の面積を二等分する直線は、線分 AB の中点を通る。

線分 AB の中点を M とすると、M の座標は

$\left( \frac{-6 + 2}{2}, \frac{9 + 1}{2} \right) = (-2, 5)$

原点 O と点 M を通る直線の式は、$y = ax$ とおくと、点 M (-2, 5) を通るので

$5 = -2a$ より $a = -\frac{5}{2}$

したがって、原点 O を通り三角形 OAB の面積を二等分する直線の式は $y = -\frac{5}{2}x$ である。

点 C は、直線 $l$ と直線 $y = -\frac{5}{2}x$ の交点なので、

$-x + 3 = -\frac{5}{2}x$

$3 = -\frac{5}{2}x + x = -\frac{3}{2}x$

$x = -2$

$y = -\frac{5}{2} \times (-2) = 5$

したがって、点 C の座標は (-2, 5) である。

3. 最終的な答え

(i) 点 A の $y$ 座標は 9

(ii) 直線 $l$ の式は $y = -x + 3$

(iii) 点 C の座標は (-2, 5)